Résolution d'équations dans le plan complexe

Bonsoir,
J'ai fais un exercice dans lequel il faut résoudre des équations avec des complexes mais je ne suis pas sur de mes résultats et je bloque pour la dernière équation.
Pouvez vous vérifier s'il vous plaît ?

On considère l'équation (E) z²=-9-40i
1)a. On pose z=a+ib , montrer que z est solution de (E) si et seulement si on a : a²-b²=-9 et ab=-20 et si a²+b²=41 (on admet la dernière égalité)

b. En déduire les solutions de (E)

Résoudre dans , l'équation $z^4$ +18z²+1681=0

1)a. z²= (a+ib)²= a²+2iab -b²

Par identification j'ai a²-b²=-9 et ab= -20

b. je résous le système
a²-b²=-9
a²+b²=41 2a²=32 donc a²=16, a=4 ou a=-4

si a=4 de ab=-20 on déduit b=-5 donc z=4-5i
si a=-4 de ab=-20 on déduit que b=5 et donc z=-4+5i

on pose Z=z²
d'où Z²+18Z+1681=0
Δ=6400i²
√Δ= 80i

$Z_1$ = -9+40i
$Z_2$ =-9-40i

Or Z=z²
donc -9+40i=z²
-9-40i= z²
z²=-9-40i a été résolu en 1) et on a trouvé z1=4-5i et z2=-4+5i
et pour z²=-9+40i je bloque.

Merci.

Bonjour,

Tous tes calculs sont bons.

Pour z²=-9+40i , tu appliques la même méthode que pour z²=-9-40i

Cette fois , tu trouves :

a=±4 , b=±5 avec ab=20

a et b sont donc de même signe , donc .........................

donc on a : z=4+5i et z2=-4-5i

Donc les solutions de l'équation $z^4$ +18z²+1681=0 sont :
S={4-5i ; -4+5i ; 4+5i ; -4-5i} (je peux l'écrire comme ça ?)

C'est tout à fait exact !

ok merci !