Calcul compliqué !

Bonsoir à tous, je bloque sur la question 1 et pour la question 2, j'aimerai savoir si c'est correct ou pas. Pouvez vous m'aider s'il vous plaît ? Merci d'avance !
Exercice 2:

Calculer S = [1 / √2 + √1] + [1 / √3 + √2] + … + [1 / √100 + √99].
Déterminer le plus petit entier naturel n tel que: [1 / √2 + √1] + [1 / √3 + √2] + … + [1 /
√n+1 + √n].

1.On peut le faire à la calculatrice mais ça prendra beaucoup trop de temps. Existe-t-il un moyen plus rapide de la faire ?

2.[1 / √2 + √1] + [1 / √3 + √2] + … + [1 / √n+1 + √n]
= (√2+√1) + (√3+√2) + … + (√n+1 + √n)
= √n+1 – 1

donc trouver le premier n tel que la somme en question dépasse 100 revient à résoudre :
√n+1 – 1 ≥ 100
⇔ √n+1 ≥ 101
⇔ (√n+1)² ≥ 101²
⇔ n+1 ≥ 10201
⇔ n ≥ 10200

Est-ce-que c'est bon ?

Bonjour,

Pense aux quantités conjuguées :

IDEE : a²-b²=(a+b)(a-b) donc $1a+b=a−ba−b2\frac{1}{a+b}=\frac{a-b}{a^-b^2}$

Pour la 1) , la somme ( que j'appelle S ) vaut :

$s=2−12−1+3−23−2+.............+100−99100−99s=\frac{\sqrt 2-\sqrt 1}{2-1}+\frac{\sqrt 3-\sqrt 2}{3-2}+.............+\frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{100-99}$

Tous les dénominateurs valent 1

Il te reste à simplifier les numérateurs ( "presque" tout s'annule )

Même principe pour la 2)

Merci

donc √100 ne s'annule pas et ça donne S=10

non je me suis trompé:

-1+√100 ne s'annule pas donc S= -1+10= 9

Presque mais pas tout à fait .
Il y a aussi un "-1" qui ne s'annule pas.

Tu peux mettre les expressions les une en dessous des autres pour mieux voir les simplifications :

$5−4\sqrt 2 -\sqrt 1 \ \sqrt 3 - \sqrt 2 \ \sqrt 4 - \sqrt 3 \ \sqrt 5 - \sqrt 4$
....
....
....
$99−98\sqrt {99} - \sqrt {98}$
$100−99\sqrt{100} - \sqrt{99}$

Simplifie en barrant en "obliques"

Je tappais pendant que tu me donnais ta nouvelle réponse :

Elle est bonne . C'est bien S=9

( c'est bien 9 en non 99 )

Merci encore !!

vous avez fait une toute petite erreur, la réponse c'est 9 et non 99.

j'ai fait la question 2 avec le même principe et ça donne :

n = 10200

C'était bien S=9 à la première question : (j'ai modifié !)

OK pour n>10200

Mais pour la réponse à donner, s'il y a le mot "dépasse" dans ton énoncé , la plus petite valeur de n est alors 10201
( Regarde ton énoncé de près )

non il n'y a pas le mot "dépasse", c'est moi que l'ai mis par contre c'est supérieur ou égale à 100.

Si c'est la plus petite valeur de n telle que la somme soit supérieure ou égale à 100 , qui est demandée , tu réponds 10200 .

Je pense que tu as bien compris cet exercice.

Je vous remercie beaucoup