positions relatives

Bonjour,
pouvez vous m'aider à déterminer les positions relatives entre une fonction et sa tangente, s'il vous plaît ?

La fonction est f(x)= $(e$ ^x $1)/(e^x$ -x) et sa tangente en 0 est d'équation : y = x

Je sais que je dois étudier le signe de f(x)-x = $(e$ ^x $1-xe^x$ +x² $e^x$ -x)
mais je suis bloqué.

merci.

Rebonjour,

J'ignore si tu as des questions préalables pour trouver les signes des termes concernés....

f(x)-x peux se transformer en :

$f(x)−x=(1−x)(ex−x−1)ex−xf(x)-x=\frac{(1-x)(e^x-x-1)}{e^x-x}$

Ensuite , pour tout x réel : $e^x$ -x strictement positif , $e^x$ -x-1 strictement positif pour x≠0, ( et nul pour x=0) .
Il te reste à donner le signe de (x-1) et faire un tableau de signes et conclure .

je n'arrive pas à trouver la même chose au numérateur.

Pour le numérateur , tu ajoutes et enlèves x :

$e^x-1-xe^x+x^2= e^x-x-1-xe^x+x^2+x$

Tu continues en mettant $e^x$ -x -1 en facteur.

ah ok

comment je justifie que $e^x$ -x-1 strictement positif pour x≠0, ( et nul pour x=0) ?

Regarde si tu as des indications dans ton cours ou au début de ton problème.

Si tu n'as rien , tu peux , par exemple , étudier les variations de la fonction g définie par $g(x)=e^x$ -x

Tu trouveras que g a un minimum de 1 pour x=0

j'ai vu ça dans mon cours,

la tangente au point d'abscisse 0 de la courbe représentative de la fonction exponentielle a pour équation: y=x+1 et est située au dessous de la courbe représentative c'est à dire $e^x$ ≥x+1 pour tout x donc $e^x$ -x-1≥0

ça marche ?

Oui ; si c'est dans ton cours , tu peux l'utiliser directement.

ok merci

j'ai trouvé que la représentation de f(x) est au dessus de la tangente en ]-∞;1[ et en dessous en ]1;+∞[

c'est exact ?

j'ai remarqué un problème, sur la calculatrice ça ne change pas en 1

Vérifie peut-être de plus près.

La courbe touche la tangente pour x=0 et pour x=1
Pour x<1 ( différent de 0) , la courbe est au-dessus de la tangente
Pour x>1 , la corbe est en dessous de la tangente.

Cela doit correspondre à ton tableau de signes.

et avant zéro, la courbe est au dessus de la tangente ?

oui