Trouver la dimension à donner à la grande base du trapèze afin que le volume du bac soit maximal en utilisant les dérivées



  • J'ai un exercice typa BAC a résoudre mais quand j'en arrive aux dérivées de fonctions composées je bloque. Voila tout l'exercice et ce que j'ai pu en résoudre pour l'instant. Si vous avez une idée: DONNEZ LA MOI 😁 Sérieusement, merci d'avance!

    Un récipient a la forme d'un prisme droit dont la base est un trapèze isocèle ABCD (voir figure 1).
    Toutes les dimensions de ce récipient sont fixés sauf la longueur CD. On donne AB=BC=1 et BB'=2 (l'unité étant le mètre) et on cherche la dimension à donner à la grande base [CD] du trapèze ABCD afin que le volume de ce récipient soit maximal.
    On appelle H le pojeté orthogonal de A sur [CD] (voir figure 2), et on note x la longueur HD.

    http://pix.nofrag.com/0a/ea/90d749802959e392bcb246311b06.jpg

    1. A quel ensemble appartient le réel x?
      Je ne vois pas très bien ce qui est demandé ici? Je dis que x fait partie de l'ensemble des réels??
      2)Exprimer l'aire du trapèze ABCD en fontion de x.
      Aire ABCD=HC * HA
      HC=1+x
      et d'après le théorème de Pythagore:
      DA^2 = DH^2+HA^2
      HA^2 = DA^2-DH^2
      HA= sqrtsqrt(1-x^2)
      Donc l'aire du trapèze est: (1+x)sqrtsqrt(1-x^2)
    2. Démontrer que le volume de ce récipient, en fonction de x, est égal à V(x)=2*(1+x)sqrtsqrt(1-x^2)
      Vu que l'aire est égale a (1+x)sqrtsqrt(1-x^2) et que le volume se calcule par base multiplié par hauteur cela revient a multiplier l'aire de ABCD par 2 (2 est la hauteur).
      4)Démontrer que V'(x)=2*(1-x-2x^2)/( sqrtsqrt1-x^2)
      J'ai décomposé la fonction en 2:
      u(x)=2+2x et v(x)=sqrtsqrt(1-x^2)
      d'ou u'(x)=2 et v'(x)=x/sqrtsqrt1-x^2))
      on sait que (uv)'=u'v+uv'
      d'ou on a 2( sqrtsqrt(1-x^2))+(2+2x)(x/sqrtsqrt(1-x^2)
      equiv/ 2( sqrtsqrt(1-x^2)) + (2x+2x^2)/sqrtsqrt(1-x^2)
      equiv/ (2( sqrtsqrt(1-x^2))^2+2x+2x^2)/sqrtsqrt(1-x^2)
      equiv/ (2-2x^2+2x+2x^2)/sqrtsqrt(1-x^2)
      Voila mon résultat, mais il est faux, j'ai du faire des erreurs de signe mais je n'arrive pas a voir ou...
    3. Déterminer, pour quelle valeur de x, le volume de ce récipient est maximal.

    Merci d'avance a tous ceux qui pourront m'aider...



  • Bonjour,
    x est une longueur donc x>=0 et de plus c'est un des côtés d'un triangle rectangle dont l'hypothénuse mesure 1 ! Donc tu peux conclure dans quel intervalle x doit se trouver.

    ton erreur de signe vient de v'(x) = -x / sqrtsqrt(1-x^2)

    pour connaître le maximum de la fonction fait le tableau de variations de v



  • Merci, j'ai finalement trouvé l'erreur que j'avai faite et 'ai réussi a finir l'exercice. Il ne me reste plus que le deuxième... :rolling_eyes:


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