Droite de Newton/Vecteur


  • A

    ABC est un triangle. Une droite (d) coupe (AB) en D, (AC) en E et (BC) en F.
    M1 est le milieu de [CD], M2 est le milieu de [AF] et M3 est le milieu de [BE].

    On veut démontrer que les points M1, M2 et M3 sont alignés.

    On se place dans un repère (A, B,C)

    1. Déterminer une équation de la droite (BC)

    2. a- Justifier l’existence de deux réels a et b tels que :
      (vecteur)AD= (vecteur)aAB et (vecteur)AE= (vecteur)bAC

    b- Donner les coordonnées de D et E en fonction de a et b

    c- Démontrer que la droite (DE) a pour équation bx+ay-ab=0


    d- Justifier que a ne peut pas être égal à b

    1. Déduire des questions précédentes les coordonnées de F en fonction de a et b

    2. Déterminer les coordonnées des points M1, M2 et M3 en fonction des paramètres a et b

    3. Justifier que M1, M2 et M3 appartiennent à une même droite.
      Cette droite est appelé droite de Newton.

    A partir de la d ou je bloque 😕

    http://nsa27.casimages.com/img/2011/11/01/mini_111101095802294365.jpg


  • F

    Pareil ta trouvé la (d) ?


  • A

    Non 😕 et toi ?


  • H

    dans le repère (A, AB, AC) :
    A(0;0) B(1;0) C(0;1)

    1. équation de (BC) x-1+y = 0
      2)a) D appartient à (AB) donc A,B,D alignés et AD AB colinéaires donc AD = a AB avec a strictement négatif
      E appartient à (AC) donc A,E,C alignés et AE AC colinéaires donc AE = b AC avec b strictement positif
      2)b) D(a;0) et E (0;b)
      2)c) soit M(x;y) un point de (DE) vecteur DE: (-a;b) vecteur MD:(a-x; -y) sont colinéaires donc b(a-b)-ay = 0 puis ba-bx-ay=0 et ay+bx-ab = 0 cqfd
      2)d) a strictement négatif et b strictement positif donc a différent de b (cf. figure et colinéarité)
    2. F (x;y) appartient à (BC) et F appartient à (DE) donc il faut résoudre le système :
      ax-a+ay = 0 et bx-ab+ay = 0
      ce qui donne après calculs ; F(a(1-b)/(a-b); b(a-1)/(a-b))
    3. M1(a/2; 1/2)
      M2 (a(1-b)/2(a-b); b(a-1)/2(a-b))
      M3 (1/2;b:2)
      vecteur M1M3( (1-a)/2;(b-1/2))
      vecteur M1M2 (2a(1-a)/2(a-b); a(b-1)/2(a-b))
      vecteur M1M2=vecteurM1M3a/(a-b) donc les vecteurs M1M3 et M1M2 sont colinéaires et les points M1M2M3 sont donc alignés

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