Droite de Newton/Vecteur

ABC est un triangle. Une droite (d) coupe (AB) en D, (AC) en E et (BC) en F.
M1 est le milieu de [CD], M2 est le milieu de [AF] et M3 est le milieu de [BE].

On veut démontrer que les points M1, M2 et M3 sont alignés.

On se place dans un repère (A, B,C)

Déterminer une équation de la droite (BC)
a- Justifier l’existence de deux réels a et b tels que :
(vecteur)AD= (vecteur)aAB et (vecteur)AE= (vecteur)bAC

b- Donner les coordonnées de D et E en fonction de a et b

c- Démontrer que la droite (DE) a pour équation bx+ay-ab=0

d- Justifier que a ne peut pas être égal à b

Déduire des questions précédentes les coordonnées de F en fonction de a et b
Déterminer les coordonnées des points M1, M2 et M3 en fonction des paramètres a et b
Justifier que M1, M2 et M3 appartiennent à une même droite.
Cette droite est appelé droite de Newton.

A partir de la d ou je bloque

Pareil ta trouvé la (d) ?

Non et toi ?

dans le repère (A, AB, AC) :
A(0;0) B(1;0) C(0;1)

équation de (BC) x-1+y = 0
2)a) D appartient à (AB) donc A,B,D alignés et AD AB colinéaires donc AD = a AB avec a strictement négatif
E appartient à (AC) donc A,E,C alignés et AE AC colinéaires donc AE = b AC avec b strictement positif
2)b) D(a;0) et E (0;b)
2)c) soit M(x;y) un point de (DE) vecteur DE: (-a;b) vecteur MD:(a-x; -y) sont colinéaires donc b(a-b)-ay = 0 puis ba-bx-ay=0 et ay+bx-ab = 0 cqfd
2)d) a strictement négatif et b strictement positif donc a différent de b (cf. figure et colinéarité)
F (x;y) appartient à (BC) et F appartient à (DE) donc il faut résoudre le système :
ax-a+ay = 0 et bx-ab+ay = 0
ce qui donne après calculs ; F(a(1-b)/(a-b); b(a-1)/(a-b))
M1(a/2; 1/2)
M2 (a(1-b)/2(a-b); b(a-1)/2(a-b))
M3 (1/2;b:2)
vecteur M1M3( (1-a)/2;(b-1/2))
vecteur M1M2 (2a(1-a)/2(a-b); a(b-1)/2(a-b))
vecteur M1M2=vecteurM1M3a/(a-b) donc les vecteurs M1M3 et M1M2 sont colinéaires et les points M1M2M3 sont donc alignés