Exponentielles dm

[noiram613]

Bonjour, j'ai deux exercices à faire pour demain et je bloque sur les deux Je demande un peu d'aide si possible mais pas forcément les réponses exactes !

Exercice 1 :

On se propose d'étudier l'échauffement d'un conducteur parcouru par un courant éléctrique d'intensité constante. Par effet Joule, le conducteur s'échauffe et sa température ℘(t) (en °C) est fonction du temps t (en secondes).
À l'instant t=0 de la mise sous tension, la température du conducteur est ℘(0)= 0 °C.
Dans les conditions de l'experience, le bilan énergitique se traduit par l'équation : ℘'(t) + 20lambda x ℘(t) = 2
où lambda est une constante dépendant du conducteur et des conditions de l'expérience.
On prend $lamda=5x10^{-3}$ $s^{-1}$

1. Exprimer ℘(t) en fonction de t
2. Quel est le temps nécessaire pour que la température du conducteur atteigne une température de 10°C?
3. Calculer la limite du conducteur, c'est à dire quand lim x--> +∞ ℘(t)

Exercice 2 :

On considère l'équation différentielle : (E) y'$-y=2^x$

1. Montrer que la fonction g définie sur IR par $g(x)=(2x+1)e^x$ est solution de (E)
   2 Montrer qu'une fonction f est solution de (E) si et seulement si f-g est solution de l'équation différentielle (E') : y'-y=0
2. Résoudre (E')
3. En déduire toutes les solutions de f de (E)

Merci à ceux qui m'aideront !

[mtschoon]

Bonsoir,

( Je pense qu'il faut ouvrir une discussion par exercice )

Je regarde le premier exercice.

( ρ sera noté y)

Si j'ai bien lu , tu as l'équation différentielle :

y'(t)+20λy(t)=2 <=> y'(t)=-20λy(t)+2

Equation de la forme y'=ay+b

Regarde ton cours :

$y=c{e}^{at}-\frac{b}{a}$

En appliquant cette relation , tu as l'expression de y(t) en fonction de t

Tu sais que y(0)=0 : tu pourras ainsi trouver la valeur de C

Ensuite , tu calculeras y(10) et la limite demandée.

[tcjose]

bonjour, je vais regarder l'exercice 2
1- en dérivant le fonction g sur l'ensemble des réels on a:
$g^{\prime }(x)=(2x+3)e^x$
ensuite vérifie que $g^{\prime }(x)-g(x)=2e^x$ pour tout $x\in r$
2- cette démonstration se fait en deux sens:
premier sens
supposons que f est solution de (E) c'est-à-dire que $f^{\prime }-f=2e^x$
montrons que f-g vérifie (E') c-à-d (f-g)'-(f-g)=0
$(f-g{)}^{\prime }-(f-g)=f^{\prime }-g^{\prime }-f+g=(f^{\prime }-f)-(g^{\prime }-g)$ en utilisant l'hypothèse et le résultat de la première question on a le résultat
Je te laisse le soin de démontrer le second sens à savoir si f-g est solution de (E') alors f est solution de (E)
3- d'après un résultat du cours, (E') conduit à $y=\lambda \cdot ,e^x$ où $\lambda$ est une constante réelle
eh oui il faut continuer à apprendre
4. D'après ce qui précède, si (f-g) est une solution de (E') alors f=(f-g)+g est une solution de (E) et donc (E) a pour solution $y=\lambda \cdot ,e^x+(2x+1)e^x,\lambda \in r$
du courage...