Etudier les limites, parité, et dérivées d'une fonction avec exponentielle

C'est encore moi.. De retour avec une autre drôles de fonction qu'est y= e^-1÷x
Grâce à la dernière fonction je me suis comme qui dirait améliorer , donc je penses que ira mieux..

1°) Dom : ℜ car dom de e^x = ℜ positif différent de 0.
Asymptote verticale ? Non car dom ℜ.

2°) Limites:

lim 1÷e^1÷x = 1÷ +∞ = 0.
x→+∞

lim 1÷e^1÷x = 1÷0 = Impossible
x→-∞

2"°) Asymptote horizontale en y = 0

3°) Parité:
f(-x) = e^1÷x ≠ f(x) La fonction n'est pas paire
-f(x) = -e^-1÷x ≠ f(x) La fonction n'est pas impaire

4°) Intersection des axes :

.(0 ; ? )
.y = e^-1÷0 -> Impossible
Il n'y a donc pas d'intersection avec l'axe des y

.( ? ; 0 )
0= e^-1÷x -> Impossible
Il n'y a donc pas d'intersection avec l'axe des x

5°) Dérivée première:
y= e^-1÷x e^u(x) = u' . (x) . e^u(x)

y'=(-1÷x)' . (x) . e^-1÷x (f÷g) = [f'.g - f.g'] ÷ g²

.(-1÷x)' = [ (-1)' . x - (-1) . x' ] ÷ x²

y'= 1÷x² . x . e^-1÷x

y'=

Les variations : Toujours positif sans racine

6°) Dérivée seconde:
y'= 1÷x . e ^-1÷x (f÷g) = [f'.g - f.g'] ÷ g²
y"=-1÷x²e^1÷x

Point d'inflexion: Pas de point d'inflexion.

Cette fonction me semble vraiment étrange.. Ou alors je me suis complètement trompé de A à Z..

Hello JeanPhilipine
lim 1÷e^1÷x = 1÷ +∞ = 0.
x→+∞

c'est bien
lim 1/[e^(1/x)]
x→+∞

car dans ce cas 1/+∞ tend vers 0
e^(0) tend vers 1
et lim 1/1 tend vers 1 ...

Merci pour ma limite.. Tout le reste est donc correcte ?

Ah ça je ne sais pas
je suis tombé dessus par hasard

Cela dit si tu prends ta calculatrice ou Geogebra
pour tracer tes courbes, à l'oeil déjà tu verras
si ce que tu as trouvé par le calcul est en phase ...

Sinon si il y a des choses qui te paraissent encore/toujours
obscures dans ton exercice ?
on peut en discuter mais point par point

Oui les limites j'ai compris à présent
Et à propos de mon asymptote verticale ? C'est correct ? Car je n'ai jamais rien saisie à ca

Asymptote
Eh bien par exemple dans ce cas

lim 1/[e^(1/x)] = 1
x→+∞

Quand x tend vers +∞, f(x)=y tend vers 1
donc on a un asymptote horizontale d'équation y=1
c'est à dire que pour x vers +∞ on se rapproche de + en + de
f(x) = 1

lim 1/[e^(1/x)] = +∞
x→0-

Quand x tend vers 0-, f(x) tend vers +∞
donc là on a une asymptote verticale qui est x=0
c'est à dire que pour y cette fois vers +∞
on se rapproche de + en + de x=0

Pour la deuxième limites ce ne serait pas une asymptote verticale ?

Oui, j'ai corrigé

Est-ce normal que ,
lim 1/[e^(1/x)]
x→0-

Que cela tende vers +∞ au lieu de -∞ ? car en 0- nous sommes vers le négatif non.. ?

1/0- tend vers -∞
e^(-∞) tend vers 0+
1/[0+)] tend vers +∞

et la courbe sous Geogebra me confirme cela

D'accord d'accord , merci pour ton aide !
Et mon analyse sur la parité est elle correcte ?

f(-x) = e^1÷x ≠ f(x) La fonction n'est pas paire
-f(x) = -e^-1÷x ≠ f(x) La fonction n'est pas impaire

Elle n'a pas vraiment de "coté
symétrique" cette courbe
donc ni paire, ni impaire ... effectivement !

L'intersection des axes par contre , ça me semble vraiment étrange , vu que je n'en ai aucune..

.(0 ; ? )
.y = e^-1÷0 -> Impossible
Il n'y a donc pas d'intersection avec l'axe des y

.( ? ; 0 )
0= e^-1÷x -> Impossible
Il n'y a donc pas d'intersection avec l'axe des x

Bonjour,

S'agit-il bien de la fonction f définie par :

$\text{f(x)=e^{-\frac{1}{x }}$ ?

Dans ce cas , effectivement la courbe ne coupe pas les axes de coordonnées.

L'ensemble de définition est D=R-{0} ( pour x =0 , 1/x n'est pas défini ) donc pas de point d'intersection avec l'axe des ordonnées ( d'équation x=0)

Pour tout x de D , f(x)>0 ( car fonction exponentille ) donc pas de point d'intersection avec l'axe des abscisses ( d'équation y=0)

Merci bien ! Et pour mes dérivées ? je ne sais pas si la formule que j'ai utilisé est la bonne..
y= e^-1÷x e^u(x) = u' . (x) . e^u(x)

y'=(-1÷x)' . (x) . e^-1÷x (f÷g) = [f'.g - f.g'] ÷ g²

.(-1÷x)' = [ (-1)' . x - (-1) . x' ] ÷ x²

y'= 1÷x² . x . e^-1÷x
Les variations : Toujours positif sans racine

6°) Dérivée seconde:
y'= 1÷x . e ^-1÷x (f÷g) = [f'.g - f.g'] ÷ g²
y"=-1÷x²e^1÷x

J'ai de la peine à lire tes écritures ...il me semble qu'il y a un "x" de trop dans y'

U étant une fonction de x : f(x) est de la forme $e^U$ donc f'(x) est de la forme U' $e^U$

$\text{f(x)=e^{-\frac{1}{x }}$

$\text{f'(x)=(\frac{1}{x^2}).e^{-\frac{1}{x }}$

Et pour les variation , le maximum ect.. Comment fais tu ?

Pour que tu pouisse vérifier tes calculs , je te donne la valeur finale de la dérivée seconde :

$f''(x)=( \frac{1-2x}{x^4}).e^{-\frac{1}{x}$

Excuse , nos réponses se sont croisées...

Pour x ≠ 0 (0 est la valeur "interdite" ) les deux facteurs de la dérivée f'(x) sont strictement positifs , donc f'(x) > 0 donc f strictement croissante.

Quel formule as tu utilisé pour trouvé la dérivée seconde ?

Tu prends f'(x) et tu utilises la dérivéed'un produit

$U(x)=1x2=x−2U(x)=\frac{1}{x^2} =x^{-2}$ donc $U′(x)=−2x−3=−2x3U'(x)=-2x^{-3}=\frac{-2}{x^{3}}$

$V(x)=e^{-\frac{1}{x}$ donc $V'(x)=\frac{1}{x^2}.e^{-\frac{1}{x}$

$f^{''} (x) = U^{'} (x) V (x) + U (x) V^{'} (x)$

Tu continues.

Et il n'y a aucun point d'inflexion ?

Et il n'y a aucun point d'inflexion ?

Cherche si la dérivée seconde s'annule ( en changeant de signe )

Je ne saisie pas très bien.. Pour chercher le point d'inflexion je dois remplacé tout les x de la fonction de départ non ?

Cette fonction n'a t'elle pas de maximum ?

Ta phrase est très confuse...

Quel est , pour toi , la méthode pour déterminer un point d'inflexion ?

Comme je te l'ai déjà dit , cherche si la dérivée seconde s'annule ( en changeant de signe )

Observe f"(x)

Sur l'ensemble de définition , deux termes sont strictement positifs.

Il te reste à analyser le 3eme , c'est à dire (1-2x)

1-2x=0 <=>.......
1-2x<0 <=> ......
1-2x>0 <=> .......

Donc.....................................

1-2x=0 <=> x=1÷2
1-2x<0 <=> x<1÷2
1-2x>0 <=> x>1÷2

Donc ?

Moi pour trouver le point d'inflexion j'aurais remplacé le x de la fonction de départ pas 1÷2 c'est à dire que j'aurais fait

$y=e^{-1÷1÷2}$

Attention aux sens des inégalités

1-2x< 0 <=> -2x < -1 <=> x > 1/2

Même principe pour 1-2x>0 ( à revoir )

Conclusion :

L'abscisse du point d'inflexion est 1/2

L'ordonnée du point d'inflexion est f(1/2) , que tu n'oublies pas de simplifier un peu...

Dernière question , la fonction y=e^-1÷x n'a t'elle pas de maximum ou de minimum ?

Bonsoir Jeanphilipine

Quel est le sens de variation de la fonction ?

Sur quel ensemble varie y ?

Le sens ? Tu veux dire par la si elle est croissante ou pas ?
y varie sur tout les réel positif sauf 1

Oui, sur quel domaine la fonction est croissante ou décroissante ?
Soit plus précis pour les variations de y
y varie de .....

Elle est croissante de ]-∞ ; 0 [
De ] 0; 1÷2[ décroissante
Croissante de ] 1÷2 ; +∞ [

Je ne comprends pas bien avec y varie..

Jeanphilipine , j'ai l'impression que t'égares ...

Le sens de variation est lié au signe de la dérivée première f'(x) (* la dérivée seconde ne sert qu'à avoir le point d'inflexion et connaître la concavité de la courbe ( position de la courbe par rapport à ses tangentes )* )

Relis toute la discussion et fais le tableau de variation complet ( sans oublier la double barre pour x=0 ).
Tu connais f'(x) et son signe (f'(x) >0 ) donc tu as le sens de variation ( sur ]-∞ , 0[ et ]0,+∞[ )

Tu connais les limites ( que tu ajoutes aux bons endroits de ton tableau de variation )
Rappels :
en -∞ : c'est 1
en $0^-$ : c'est +∞
en $0^+$ : c'est 0
en +∞ : c'est 1

Tu as déjà TOUT , alors que cherches-tu d'autre ?

Si la fonction à un maximum ou un minimum..

Parles-tu de maximum et minimum absolus ? relatifs ?

De toute façon , si tu as compris le tableau de variation de f , tu n'as rien à faire: tu tires les conclusions sur l'existence ou la non existence d'un maximum et/ou d'un minimum ( si c'est ça ta question )

La fonction tend vers +∞ donc....

0 est un minorant de la fonction mais il n'y a pas de valeur de x dont l'image par f est 0 , donc..............