Calcul de la somme des n premiers entiers

Bonsoir,
J'ai un devoir de maths dans lequel je n'arrive pas du tout à avancer.

On cherche donc à déterminer la somme des n premiers entiers.
1/ Déterminer un polynome P, de degré 2, vérifiant pour tout x: P(x+1)-P(x)=x

J'ai donc commencé comme ceci:
P(x+1)-P(x)=x
a(x+1)²+b(x+1)+c-ax²-bx-c=x
a(x²+1+2x)+bx+b-ax²-bx-c=x
a(x²+1+2x-x²)+b=x
a+2ax+b-x=0
x(-1+2a)+a+b=0

Mais je n'arrive pas du tout à continuer..Suis-je bien partie?

Merci de votre aide et bonne soirée.

Hello Cow-ard

Oui !

Donc quelque soit x résoudre x(-1+2a)+a+b=0

revient à écrire
-1+2a = 0
et
a+b = 0
<=>
a = 1/2
et
b=-1/2

D'accord. Merci beaucoup. P(x)= $12x2−12x\frac{1}{2}x^{2-}\frac{1}{2}x$ .
La question suivante est prouver l’égalité 1+2+...+n=P(n+1)-P(1) (où n est un entier naturel non nul).
Indication, à l'aide de ce qui précède on remarquera que 1=P(2)-P(1); 2=P(3)-P(2) etc...
J'ai Donc calculé P(1)=0; P(2)=1; P(3)=3
Ensuite, P(1) étant égal à 0, P(n+1)-P(1)= P(n+1) non?
Je ne comprends pas comment arriver à l'egalité:1+2+...+n=P(n+1)-P(1).

Pouvez-vous m'aider? Merci.

Bonjour,

Par définition , tu sais que x=P(x+1)-P(x) , pour tout x réel

Tu appliques cette définition pour x=1, x=2,x=3,..., x=n et tu ajoutes

Pour mieux voir les simplifications , je te suggère de disposer les lignes les unes au dessous ses autres :

1=P(2)-P(1)
2=P(3)-P(2)
3=P(4)-P(3)
....
...
n-1=P(n)-P(n-1)
n=P(n+1)-P(n)

Tu ajoutes membre à membre et tu simplifies.

Merci beaucoup.