Equivalence de propositions



  • Bonjour !
    Je suis élève de 1er S et j'ai un DM pour demain composé de 2 exercices du livre "transmath 1er S" le 78p67 et le 84p68.
    Je commence à paniqué car j'ai du mal pour beaucoup de question alors que je doit le rendre au plus vite, merci beaucoup pour votre aide.

    84p68
    Démontrer une équivalence

    Deux propositions (P) et (Q) sont équivalentes lorsque (P) implique (Q) et(P) implique (P) a et b sont deux nombre réels.

    1.a)Pourquoi l'égalité racine carré de a=b implique t-elles b >ou= à 0 et a=b² ?

    b)Pourquoi réciproquement, les conditions b >ou= 0 et a=b² impliquent-elles racine carré de (a)=b ?

    c) Énoncez l'équivalence ainsi démontrée.
    2.Démontrez l'équivalence: (Racine C. de (a) <ou= Racine C. de b) <=> (0<ou= a et a <ou= b).
    Donner une proposition équivalente à:
    Racine C. de (a) <ou= b.

    Merci pour votre aide !

    Edit : Donner un titre significatif


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Une piste pour démarrer

    1)a) Proposition de départ √a=b

    necessairement a est positif pour pouvoir prendre sa racine carrée et √a est positif ( par définition d'une racine carrée )

    √a=b ne peut être réalisée que si deux deux membres sont de même signe donc nécessairement b est positif

    Entre nombres positifs , tu peux dire que l'élévation au carré est régulière donc :
    (√a)²=b² ce qui s'écrit : a=b²

    Remarque : au lieu de dire directement que "l'élévation au carré est régulière entre nombres positifs" , si tu es perfectionniste , tu peux le démontrer

    √a=b donc √a-b=0 ; en multipliant par (√a+b) on obtient :

    (√a-b)(√a+b)=0 donc , avec l'identité remarquable usuelle :

    (√a)²-b²=0 donc a-b²=0 donc a=b²

    Essaie de poursuivre.



  • bonjour,
    1.a) démontrons que a=b,b,0 et a=b2\sqrt{a}=b\rightarrow,b\geq,0\ et\ a=b^2
    pour commencer supposons que a=b\sqrt{a}=b
    par la définition de la racine carée, b est positif c'est à dire que b,0b\geq,0 d'une part
    d'autre part a=b(a)2=b2,a=b2\sqrt{a}=b\leftrightarrow(\sqrt{a})^2=b^2\leftrightarrow,a=b^2
    b) supposons que b,0 et a=b2b\geq,0\ et\ a=b^2 montrons que a=b\sqrt{a}=b
    a=b2a=b2=ba=b^2\leftrightarrow\sqrt{a}=\sqrt{b^2}=|b| or b=b|b|=b car b est positif
    c) enoncé
    la racine carré d'un nombre positif (a) est un nombre positif (b) dont le carré est égal à ce nombre (a)



  • Merci beaucoup !


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