Exercice sur l'exponentielle

Bonjour, j'ai un problème avec un éxo sur les exponentielles.
La consigne dit

On a la fonction f(x)=x+(e^(1-x))
(elle est tracée dans l'exercice)

1°)a)Démontrer que la droite D d'équation y=x est asymptote a la courbe C et préciser la position de C par rapport a D.

Je ne voit pas quoi faire...
Quelqu'un pourrai essayer de me mettre sur la voie ?
Parce que la je bloque complètement...
Merci d'avance.

J'ai trouvé,mais je ne comprend pas pour la question deux...

Pour la 1°),je pensais faire, f(x)-y
et si la lim de ca fait 0 alors C asymptote a D,et ca marche car,
x-x+e^1-x=e^1-x
lim e^1-x=0

On me demande après en b) de vérifier que,pour tout réel x: f(x)=(xex+e)/ex
Encore ici je ne voit pas comment faire...
Je ne comprend pas comment faire
Pourriez vous m'aider s'il vous plait?
Merci d'avance

Bonsoir ,

Cherche la limite de e^(1-x)lorsque x tend vers +∞ : tu dois trouver 0

Regarde ton cours et tu verras que cela suffit pour prouver que (D) d'équation y=x est asymptote à la courbe.

Pour tout x réel , e^(1-x) >0 donc (C) est ...............................de (D)

C est donc au-dessus de D ?

J'ai répondu à ta première question alors que tu posais la seconde...

Pour la seconde :

Vu qu'il s'agit seulemnt d'une vérification , par de la seconde expression

$f(x)=xex+eex=xexex+eexf(x)=\frac{xe^x+e}{e^x}=\frac{xe^x}{e^x}+\frac{e}{e^x}$

En simplifiant :

$f(x)=x+eexf(x)=x+\frac{e}{e^x}$

Il te reste à transformer la fin.

Oui , (C) est au-dessus de (D)

et e/e^x = e^1-x ?
l'on retrouve notre fonction de base x+e^1-x
C'est ca?

Hello Ncromancien

Je passe par là ... donc pour répondre à ta dernière
question:

Attention aux ()
Effectivement e/e^x = e^(1-x)

Ah oui,excusez moi,je les oublies tout le temps
Et,pour le justifier,je dit que c'est la définition de l'inverse ou je dois le justifier par un calcul?

$eex=e1ex\frac{e}{e^x}=\frac{e^1}{e^x}$

Tu dois connaître la propriété des exponentielles :

$eaeb=ea−b\frac{e^a}{e^b}=e^{a-b}$

Il te suffit de l'appliquer.

Non ça ça n'a rien de particulier
=> e/e^x = e^1/e^x = e^(1-x)

Rappel : e=2,718...

idem si a<> 0 a^x/a^y = a^(x-y)

[EDIT] Bonjour Mtschoon ...

Bonjour messinmaisoui ,

Un petit complément pour ne pas donner de doute à Ncromancien,

Si tu parles de $a^x$ , c'est à dire de la fonction exponentielle en base a , la condition d'existence est :

a strictement positif et différent de 1 car $a$ ^x$=e^{xlna

Ah^^
Bon et bien merci beaucoup.
Je dois maintenant en déduire la limite en -Inf
Je pensais a +inf mais je ne sait pas comment l'expliquer...

C'est bien +∞

Effectivement , il y a une indétermination à lever

Une possibilité:

Tu poses X=1-x ( c'est à dire x=1-X)

Lorsque x tend vers -∞ , X tend vers +∞

Tu transformes f(x) en fonction de X , tu mets X en facteur.

Avec les limites usuelles , l'indétermination est levée.

Ah mais oui j'avait oublié ca.
Merci beaucoup.
Je vais essayer de le refaire sur ma copie.

mtschoon
Bonjour messinmaisoui ,

Un petit complément pour ne pas donner de doute à Ncromancien,

Si tu parles de $a^x$ , c'est à dire de la fonction exponentielle en base a , la condition d'existence est :

a strictement positif et différent de 1 car $a$ ^x $e^{xlna}$

Avec cette condition existentielle , la propriété que tu indiques est valable , bien sûr.

En fait je voulais juste indiquer que simplifier
e/e^x c'était procéder pareil que pour 10/10^x ou pi/pi^x
Du coup je n'étais pas du tout dans l'idée exponentiel - base

Je conçoit que si a < 0 on ne peut pas écrire
$a$ ^x $e^{xlna}$ car lna n'aurait aucun sens
Par contre (-5)^3 / ^(-5)^7 = (-5)^(3-7) par exemple ...
c'est ce que je voulais
juste donner comme exemple en fait ...

Mais je te remercie pour ta remarque du coup
je doute donc je pense

Oui messinmaisoui, je suis d'accord avec toi , c'est ambigu...

Tout dépend de quoi on parle...

En principe , quand on parle de fonction exponentielle , il s'agit de "fonction en base e" définie par x -> $e^x$

Losque que l'on parle de x-> $a^x$ , il s'agit de la fonction exponentielle en base a . C'est ce que doit voir Ncromancien dans son programme de TS .

Dur , dur , les Maths ...

Salut à tous!

Voila j'essai de faire l'exo donné, pour m'entrainer.
J'ai tout fait correctement, mais quand vient la limite en -Inf ... je bloque.

J'effectue le changement de variable X = 1-x doù x = 1-X.
Jchange f(x), qui devient : f(X) = 1-X-exp(X)
X facteur commun donne : f(X) = X( (1/X)-1-(1/e^X)

Ce qui donne : lim f(X) = -Inf lorsque X->+Inf !

J'y comprend rien. J'hésite entre dire que c'est juste ou non lol.
Merci d'vos réponses.

Latif

Attention ...
f(X) = X( (1/X)-1-(e^X/X)
et lim e^X/X =+inf quand X -> +inf
et lim e^X/X = 0 quand X -> -inf car e^x tend alors vers 0+

Arf j'ai toujour ces petites erreurs !! ça m'agace à un point ; Voir même à un point-virgule!

Lol en tout a merci j'suis l'pire des idiots sur ce coup, et pour te plagier (ou plagier Descartes) :

Je doute donc je pense (Ce qui est partiellement faux je trouve mais bon !)

Mais
lim f(X) = X( (1/X)-1-(e^X/X) en +∞
correspond à : lim fx)= x+ exp(1-x) en -∞ c'est bien ça ?

Or lim e^X/X =+inf quand X -> +inf, donc lim -(e^X/X) = -∞ en +∞.
Ce qui me donne toujours lim f(X) = X( (1/X)-1-(e^X/X) = -∞ en +∞

Mais
lim f(X) = X( (1/X)-1-(e^X/X) en +∞
correspond à : lim fx)= x+ exp(1-x) en -∞ c'est bien ça ?

Non !

Il ne faut pas oublier de remplacer X par 1-x après ...

ex : lim 1-x quand x tend vers +OO est -OO
si X = 1-x ...
alors
lim X quand X tend vers +OO est +OO
mais en remplaçant X par 1-x
on retombe
sur
lim 1-x quand x tend vers +OO est 1 - (+OO) = -OO

Bon et bien,je croit que tout est dit pour cette question.
On me demande a la fin d'étudier les variation de f(x)
je fait le tableau de signe de la dérivée c'est a dire
f'(x)=-e^1-x ?
car f'=u'e^u

C'est ca que je dois faire ou je me trompe...?

(désolé pour le double-post...)

Si f(x)=x+(e^(1-x))
alors f'(x) = 1 - e^(1-x)

Pour étudier les variations de f(x) il faudrait
effectivement étudier le signe de f'(x)

Heu,j'ai pas bien compris la dérivée...
Pourquoi c'est 1 et pas -1 devant l'exponentielle?
Quand on dérive 1-x ca fait -1 non?

Oui on est d'accord

Il y a un - pourtant devant mon exponentielle,
ne le vois-tu pas !?

f'(x) = 1 -
e^(1-x)

Ah mais oui je suis bête, je croyait que dans f(x) c'était -e et pas e
Je dis n'importe quoi.
Merci beaucoup^^
(plus qu'a trouvé les variations de 1-e^(1-x)
Je vais y réfléchir

Pas de problème Ncromancien
Moi aussi je fais souvent des erreurs
dans mes calculs ce qui prouve que je suis humain

Héhé.
Bon,je pense que le tableau doit ressembler a ca
décroissante de +inf a 1 et croissante de 1 a +inf
C'est ca ou pas?
(je ne sait pas comment justifier ca...)

1-e^(1-x) = 0
<=>1 = e^(1-x)
<=>e^0 = e^(1-x)
<=> 1-x= 0
<=> x= 1

si x < 1 e^(1-x) > 0 et lim e^(1-x) quand x tend vers -OO est +OO
donc lim 1- e^(1-x) quand x tend vers -OO est -(+OO) = -OO

si x > 1 e^(1-x) > 0 et lim e^(1-x) quand x tend vers +OO est 0
donc lim 1- e^(1-x) quand x tend vers +OO est 1

Ah, j'était loin^^
Mais au moins j'ai compris(enfin je pense avoir compris)
Mais alors cela veut dire que la courbe est tout le temps croissante non?

Oui et je t'encourage à charger sur PC
GeoGebra traceur de courbes
pour valider tes recherches de limites ...

Si ce sont les sens de variation pour x< 1 et x >1 que tu ne sais pas justifier , Ncromancien , il te suffit d'étudierle signe de la dérivée ( comme d'habitude )

f croissante :

f'(x)>0 <=> $1-e^{1-x}$ >0 <=> 1 > $e^{1-x}$ <=> $e^0$ > $e^{1-x}$ <=> 0>1-x<=> <=> x>1

Tu appliques le même principe pour f décroissante ( c'est à dire f'(x)<0 )et tu trouveras [b]x<1[/b]

Oui,je pense que je vais télécharger GeoGebra
Et effectivement mtschoon.
Comme cela ca semble évident^^
Bon et bien,je croit que tout est dit

Merci beaucoup a vous tous pour votre aide

Bonne soirée
Au revoir.

C'est très très bien GeoGebra , mais n'oublie pas de bien connaître ta calculette graphique .
Le jour du Bac , tu n'auras pas GeoGebra mais , sauf contre indication , tu auras ta calculette...