dériver une fonction composée

Bonjour, je n'arrive pas à dériver une fonction composée.
Le professeur nous a donné trois formules différentes :

f'(x) = h'(x)+g'oh(x)
-u^n = n x u' x u^n-1
u'(x)/ 2\/¯ u(x)

Seulement je n'arrive pas à les appliquer.
Par exemple, dans cet exercice, comment dériver la fonction suivante :

f(x)= (x²-3x+1)²(5x+1)

Quelle formule dois je utiliser ?
Merci de votre aide.

Bonjour onarum28,

Utilise la forme U x V

Hello onarum28
Bonjour Noemi

Onarum28,
Tu es sûr que cette relation est ok : f'(x) = h'(x)+g'oh(x)

Sinon imaginons que les 3 formules sont à utiliser uniquement ...
Car si ça n'est pas le cas, prendre la solution donnée
par Noemi !

Je ne sais pas si f(x) est un bon exemple
pour appliquer la 1ere formules citée
Si par exemple tu avais donné
f(x)= 5(cos x)+1

on aurait pu dire
soit g(x) =5x+1
soit h(x) = cos x

goh(x) = f(x) et là l'utiliser

Pour la 3ème aussi avec racine je vois pas dans f(x) de
racine

par contre, la 2ème en développant f(x),
là ok on pourrait l'appliquer

Bonjour tout le monde ,

Onarum28 a du mal lire ( ou écrire ) sa première formule en confondant les signes "+" et "x" ...

Si $f (x) = g o h (x)$ , alors $\times h'(x)$

Ah Merci Mtschoon

Je ne connais pas toutes les formules par coeur mais
en prenant mon exemple

f(x)= 5(cos x)+1
et f(x) = g o h(x)
soit g(x) =5x+1
soit h(x) = cos x

Je tombais sur une dérivée surprenante

Merci pour votre aide, donc si j'ai bien compris, pour dériver une fonction composée j'utilise f'(x) = h'(x)+g'oh(x) ;

ou sinon U x V ?

Hum ...

cette dérivée de fonction
f'(x) = h'(x) + g'oh(x)
semble fausse c'est sans doute f'(x) = h'(x) * g'oh(x)

La dérivée d'un fonction de type U * V
est U' * V + U * V' ce qui parait le plus simple à
utiliser pour ta fonction f(x)

ah oui pardon c'est x et non pas + , merci.

je n'arrive pas à appliquer cette formule dans le cas de mon exercice.
Pourriez- vous m'expliquez pour cet exemple ?

f(x)= u(x)* v(x)
avec
u(x)= (x²-3x+1)²
et v(x) = (5x+1)

Il faut maintenant calculer u'(x) et v'(x)

Pour u'(x)= (x²-3x+1)² , utilise ta formule 2)

Ex : w(x) = (5x-1) (2x²+3)

w'(x) = 5 * (2x²+3) + (5x-1) 4x

onarum28 , ne commence pas par regarder tes formules , commence par regarder la fonction et tu en déduiras les formules à appliquer après..

( et regarde bien ton cours pour ne pas retenir des formules fausses ! ! ! )

Comme te l'a dit Noemi, c'est un PRODUIT , donc utilise la dérivée d'un produit.

Tu poses : U(x)=(x²-3x+1)² et V(x)=5x+1

Donc , f'(x)=U'(x)V(x)+U(x)V'(x)

Il te reste donc à calculer U'(x) et V'(x) ( puis à remplacer dans f'(x) )

U(x)=(x²-3x+1)² tu vas donc utiliser la dérivée d'une puissance ( formule relative à $u^{n }$ dans ton cours )

U'(x)=2(x² $3x+1)^{2-1}$ .(x²-3x+1)'=2(x²-3x+1).(2x-3)

V(x)=5x+1 donc V'(x)=5

Conclusion :

f'(x)=2(x²-3x+1).(2x-3)(5x+1)+(x²-3x+1)²5

C'est pas très beau...

Je te suggère de mettre (x²-3x+1) en facteur :

f'(x)=(x²-3x+1)[2(2x-3)(5x+1)+5(x²-3x+1)]

Si tu développes la quantité entre crochets , au final tu trouveras :

f'(x)=(x²-3x+1)[25x²-41x-1]

C'est la meilleure réponse ( tu peux bien sûr développer et obtenir un polynome de degré 4 mais ça ne servirait à rien )

Revoir tout cela de près pour comprendre et refais le sans regarder la solution.

Bon courage !

messinmaisoui , je n'ai pas trop regardé ton explication avec f(x)=5(cosx)+1 mais c'est direct :f'(x)=5(-sinx)=-5sinx
(* mais onarum28 n'a pas dû voir les dérivées des fonctions trigonométriques* )

Si tu as besoin d'une petite révision des formules de dérivées , dans le bandeau de gauche , Noemi a fait une fiche ( rubrique 1ere ) sur les dérivées usuelles )

mtschoon

messinmaisoui , je n'ai pas trop regardé ton explication avec f(x)=5(cosx)+1 mais c'est direct :f'(x)=5(-sinx)=-5sinx
(* mais onarum28 n'a pas dû voir les dérivées des fonctions trigonométriques* )

...

Mtschoon, sur l'ensemble du post on est en phase, (l'histoire des cosinus
c'était pour introduire un exemple de composé de fonctions ...
que je ne percevais pas (le composé) dans f(x) ... )

OK messinmaisoui ( et bonne nuit )

Merci beaucoup pour votre aide , j'ai refais plusieurs exercices et j'arrive maintenant à dériver ce type de fonction. Par contre, en refaisant des exercices pour m'entrainer, il y'a certaines fonctions que je n'arrive pas à dériver :

f(x)= 3x-(2)/(2x+1)²
-f(x)= 4/(2x+5)^3
-f(x)= /¯ (x)+2 / /¯ (x) -3

Pourriez-vous m'expliquez ?

Je vous remercie

f(x) = 3x-(2)/(2x+1)²
=> dérivée de u/v : (u'v-uv')/v²

f(x)= 4/(2x+5)^3
=> dérivée de u/v : u'v-uv'
et u^n = n x u' x u^n-1

f(x)= /¯ (x)+2 / /¯ (x) -3
=>u'(x)/ 2\/¯ u(x)
et dérivée de u/v : (u'v-uv')/v²

Si tu envoies le détail de tes calculs
je pourrai / on pourra vérifier ...

Bien sûr , messinmaisouivoulait dire que la dérivée de u/v est (U'V-UV')/V²

mtschoon
Bien sûr , messinmaisouivoulait dire que la dérivée de u/v est (U'V-UV')/V²

Exact c'est corrigé
De toute façon ça n'aurait pas passé l'étape de validation

Bon onarum28

2-3 exemples normalement sans erreur(s)

uv => dérivée :(uv)' = u'v+uv'
1/u => dérivée :(u/v)' = (u'v - uv')/v²
u^n => u' * n * u^(n-1)

ex :
3x² = 3x * x
en passant par dérivée produit : 3 * x + 3x * 1 = 6x
si on se rappelle pas de celle-ci
par formule dérivée de la puissance 3 * 2 x^(2-1) = 6x

2/x
dérivée : (-2)/x²
si on se souvient pas de la formule de la dérivée de u/v
alors 2/x peut s'écrire 2 * x^(-1)

donc la dérivée est 2 * (-1) x^(-1-1) = -2x^(-2) = (-2)/x²

√x on peut utiliser le fait que √x = x^1/2
dérivée : 1/2 x^(1/2-1) = 1/2 x^(-1/2) = 1/(2√x)

Toute façon toujours vérifier ses formules
par rapport à l'exercice
enfin tu vois que on a des moyens
de retrouver ou valider ses calculs par recoupement de formules

messinmaisoui , je m'excuse de te rectifier... mais je me sens génée de laisser passer des erreurs de formules ( car ça ne pas pas aider l'élève...)

Tu as écrit
Citation
u^n => n * u^(n-1)

C'est faux

Il s'agit de la dérivée d'une fonction composée ...( il manque le U' )

$\text {f(x )= U^n}$ => $\text{f'(x)=nU^{n-1}U'$

Exemple

$f(x)=(5x+1)^3$

Donc :

$f′(x)=3(5x+1)2×5=15(5x+1)2f'(x)=3(5x+1)^2\times 5=15(5x+1)^2$