Algorithme de Babylone et valeur approchée de √2

Bonjour, j'aurai besion d'aide pour finir cet exercice, merci d'avance pour votre aide.

$U_0$ =2
$U_{n+1}$ = (1/2) $U_n$ + $2/U_n$ ))

Calculer $U_1$ et $U_2$ .
Montrer que $U_{n+1}$ -√(2) = $U_n$ -√(2))² / $2U_n$ )
En déduire que $U_n$ ≥√(2) pour tout n ∈ N
Démontrer pour tout n ∈ N, 0 ≤ $U_{n+1}$ -√(2) ≤ $$2$2^{n+2} $- 2 *$ {√(2)}$ .
Etudier la convergence de $U_n$ ).
Déterminer une valeur approchée rationnelle de √(2), à $10^{-10}$ près

J'ai réussi la (1) et la (2) mais je ne sais pas comment m'y prendre pour la suite (surtout pour la (4)). J'aurais besion de votre aide s'il vous plait, merci d'avance et bonne journée à tous.

Hello Cheryl

Comment as tu procédé pour montrer le 2) ?

Bonjour
j'ai calculé (1/2)*(Un+(2/Un) -√(2)
J'ai commencé par développer puis j'ai mis √(2) sous le même dénominateur puis j'ai retrouvé l'identité remarquable (Un-√(2))² au numérateur

U0=2
Un+1= (1/2) (Un+ (2/Un))

donc à la vue des opérations + et /
Un, Un+1 seront toujours positifs

Si Un-√(2) = (Un -√(2))² / (2Un)

alors Un - √(2) ≥ 0<=> (Un -√(2))² / (2Un) ≥ 0

ça devient sans doute plus simple à montrer ...

désolée je me suis trompée dans l'énnoncé : dans la (2) j'ai montré que $U_{n+1}$ -√(2) = $U_n$ -√(2))² / (2Un)

merci pour l'aide j'ai donc réussi à montrer Un+1 - √(2) ≥ 0
mais je n'arrive pas à finir l'inégalité

c'est bon j'ai réussi la (3) au final je l'ai faite par récurrence vu que je connaissait Un+1
merci beaucoup

L'inégalité du 4) ?

oui, je sais que Un+1 ≥ 0 mais je ne vois pas comment procéder pour l'inégalité de droite...
( désolé je n'ai pas réussi à mettre les exposants au bon niveau , c'est 1/ ( 2^ [2^(n+2)-2]-√(2) )

je sais que Un+1 - √(2) ≥0

1/ ( 2^ [2^(n+2)-2]-√(2) )

ceci donc ?

$12(2(n+2)−2)−2\frac{1}{2^{(2^{(n+2)}-2)}-\sqrt{2}}$

oui c'est bien ça

La formule a l'air juste
Mais je ne trouve pas
comment la démontrer ...

Peut-être un autre forumeur aura t'il une méthode
pour y arriver ?

U1 - racine(2) <= 1/[ 2^(2²-2) - racine(2)]
<=>
U1 - racine(2) <= 1/( 4 - racine(2) )
<=>
3/2 - racine(2) <= 1/(4 - racine(2))

U2 - racine(2) <= 1/[ 2^(2^3-2) - racine(2)]
<=>
17/12 - racine(2) <= 1/(32 - racine(2))
*

Merci, pour cette question je demanderais demain à mon prof de maths si il peut m'aider

sinon pour la convergence j'ai trouvé que Un+1 - Un = ( 2-Un² ) / ( 2Un )
mais je n'arrive pas à savoir si la suite est croissante ou décroissante car à partir d'un algorithme, j'ai conjecturé sa décroissance mais là ça à l'air positif.

Un+1 - Un = ( 2-Un² ) / ( 2Un )
=[(√2-Un) (√2+Un)] / (2Un)

et (√2+Un) > 0
2Un > 0
reste √2-Un mais on sait que Un≥√(2)
donc que √2-Un ≤ 0
et donc ça décroit ...

Oui merci j'avais loupé l'identité remarquable merci beaucoup

Bon et pour ça
$12(2(n+2)−2)−2\frac{1}{2^{(2^{(n+2)}-2)}-\sqrt{2}}$

Bah ça sera sympa de me donner l'explication
à moins que quelqu'un sur le forum
trouve l'explication avant

oui bien sûr quand j'aurai trouvé ou quand j'aurais le corrigé

Bonjour,
Vous pouvez aussi faire un tour ici :

Algorithme de Héron

Merci
Pour trouver l'approximation j'ai calculé $U_3$ et ça me donne une précision de $10^{-10}$ mais ce n'est pas la même que celle que me donne ma calculette par contre $U_4$ me donne la même approximation.

mathtous
Bonjour,
Vous pouvez aussi faire un tour ici :

Algorithme de Héron

C'est un père qui se ballade avec son fils
le petit regarde le ciel et tend son doigt vers un oiseau
et il dit "Tapon"
Le père surpris, lève les yeux puis sourit en tapotant l'épaule
de son fils : "Héron, Héron petit ... pas Tapon"

Le sujet avait déjà été traité.
J'y avais longuement répondu ici :

cliquer sur ce lien

Cyrano, récitant comme une leçon.
La ballade, donc, se compose de trois
Couplets de huit vers...
Le vicomte, piétinant.
Oh!
Cyrano, continuant.
Et d'un envoi de quatre.
Le vicomte
Vous...
Cyrano
Je vais tout ensemble en faire une et me battre,
Et vous toucher, monsieur, au dernier vers.

Citation
C'est un père qui se ballade avec son filsTu veux sans doute parler d'une balade ?

Oups !

... Cyrano de Bergerac ... Le français
dans toute son élégance, j'adore !