Dérivées n-ièmes

[Mestena]

Bonjour. J'ai un exercice à réaliser pour demain, et je suis complètement perdue... Est-ce que quelqu'un pourrait me lancer sur quelques pistes afin que je puisse y arriver s'il vous plaît ? Voici l'énoncer :

On note $f_0$, $f_1$, $f_2$ les fonctions définies sur R respectivement par $f$_0$(x)=e^x$ , $f$_1$(x)=x{e}^x$ et $f_2$ (x)= $x$_2$e^x$
On note $f$_1${}^{(1)}$=f' ; $f$_1${}^{(2)}$= f'' ; ... ; $f$_1${}^{(n)}$ ; ... ; les dérivées successives de la fonction $f_1$ pour n≥ 1
On définit de même $f$_2${}^{(n)}$

1. Démontrer par récurrence que :
   a) $f$_1${}^{(n)}$ = $n{f}_0$ + $f_1$
   b) $f$_2${}^{(n)}$= $n(n-1)f$_0$+2n{f}_1$+ $f_2$
2. déduisez-en $f^{(n)}$(x), où f est la fonction
   x→$(2x$^2$-3x)e^x$

Merci d'avance cordialement

[mtschoon]

Bonjour,

Piste pour la première récurrence

Initialisation ( pour n=1)

$f_1^{(1)}(x)=f_1^{\prime }(x)$

Tu pars de $f_1(x)=x{e}^x$

Tu dérives ( dérivée d'un produit ) et tu trouves $f_1^{(1)}(x)=e^x+x{e}^x$

Donc : $f_1^{(1)}(x)=f_1(x)+1f_0(x)$

Transmission

A un ordre n ( n ≥ 1) , tu supposes que : $f_1^{(n)}(x)=f_1(x)+n{f}_0(x)$

En dérivant $f_1(x)+n{f}_0(x)$ , tu dois trouver une dérivée ( qui est $f_1^{n+1}(x)$) qui sécrit $f_1(x)+(n+1)f_0(x)$

[Mestena]

Merci pour votre réponse, je vais essayer de comprendre tout ça pour commencer ..

[mtschoon]

Oui , ce n'est pas très compliqué mais ce sont les notations qu'il faut assimiler .

[Mestena]

J'ai vraiment du mal ... Je n'arrive pas à faire la b) malgré l'exemple ...

[Mestena]

J'ai essayé pour la b) et je trouve : pour n=1, $f$_2${}^n$= $1(1-1)e^x$ + 2x1x $x{e}^x$ + $x$^2$e^x$
= $2x{e}^x$ + $x$^2$e^x$
C'est correct ?

[mtschoon]

C'est correct ( à condition que tu aies obtenu ce resultat en dérivant $f_2$(x) )

Tu peux ainsi déduire ( pour l'initialisation ) que :

$f_2^{(1)}(x)=0f_{0}x+2.1f_1(x)+f_2(x)$

[Mestena]

Oui c'est ce sque je trouve en dérivant. Par contre, je ne vois pas quoi mettre pour l'hérédité ? J'ai l'impression d'avoir déjà conclu ...

[mtschoon]

Tu as fait le cas n=1 ( initialisation)

Pourl'héredité , tu supposes la formule vraie à un ordre n ( n≥1) et tu démontres ( en dérivant ) que la formule est vraie à l'ordre (n+1)

En bref :

Tu supposes que :$f_2^{(n)}(x)=n(n-1)f_0(x)+2n{f}_1(x)+f_2(x)$ , ce qui veut dire :

$f_2^{(n)}(x)=n(n-1)e^x+2nx{e}^x+x^2{e}^x$

Pour obtenir $f_2^{(n+1)}(x)$ , tu dérives $f_2^{(n)}(x)$ et, après calculs et transformations , tu dois trouver :

$f_2^{(n+1)}(x)=(n+1)(n)e^x+2(n+1)x{e}^x+x^2{e}^x$ , ce qui veut dire que :

$f_2^{(n+1)}(x)=(n+1)(n)f_0(x)+2(n+1)f_1(x)+f_2(x)$

[Mestena]

Merci beaucoup