Première S - Vecteurs et coordonnées d'un point

Bonjour à tous
J'aurai besoin d'un petit coup de main pour un devoir maison à rendre pour lundi dont l'un des exercices a pour énoncé:
Dans un repère (o,→i, →j), on considère les points A(-2;4), B(2;2), C(-5;0) et D tel que →CD= 2→AB
1.a) quelle est la nature du quadrilatère ABDC ?
b) calculer les coordonnées de D.
2.a) déterminer une équation cartésienne de chacune des droites (BD) et (AC)
b) sont-elles parallèles ?
si non, calculer les coordonées de leur point d'intersection E.
3. soit F et G les milieux respectifs des segmengts [AB] et [DC]
démontrer que les points E, F, G sont alignés.

J'ai trouvé pour la question 1.a) que d'après l'énoncé nous savions que →CD= 2→AB. il existe donc un reel k, qui ici vaut 2, tel que →CD = k→AB. on peut donc dire que ces vecteurs sont colinéaires et on peut également dire que (CD) et (AB) sont parallèles. Le quadrilatère ABCD est donc un parallélogramme.

pour la question 1.b) j'ai calculer les coordonées de D :
Sachant que →CD= 2→AB les coordonnées de →CD = (x-(-5) ; y-0)
de plus les coordonnés de 2→AB valent (8;-4) donc
→CB a pour coordonnées x+5 = 8 et y-0= -4 ce qui donne x=3 et y=-4
Coordonnées de D (3;-4)

pour la question 2a) j'ai trouvé pour vecteur directeur de →BD (1; -6) et pour équation cartésienne de la droite (BD) : -6x -y + 14 =0
et pour équation cartésienne de (AC) : -4x + 3y -20 = 0
sont-elles justes ?

b)en faisant le produit en croix des x et des y j'ai trouvé que ces deux droites n'étaient pas parallèles.
il faut donc calculer le point de leur intersection appelé E.
et c'est ici que les problèmes arrivent.
Faut-il que je fasse une équation avec les deux équations cartésiennes calculées précedemment ou ai-je le droit de dire que:
dans le triangle EDC : E,A,C et E,B,D sont alignés & sachant que →AB= 1/2 →CD et que (AB) // (CD) je peux dire que A est le milieu de (EC) et que B est le milieu de (ED). Donc que →DE = 2→DB
de plus on sait que : →DB (-1; 6) et 2→DE= (-2; 12) donc que
xE - xD = -2
yE - yD = 12

donc: xE - 3 = -2
xE = 1

et yE - (-4) = 12
yE = 8
les coordonnées de E sont donc (1;

Je voudrais savoir si cela est possible, si mon raisonnement est juste et si il y n'y aurait pas un moyen plus simple de calculer ces coordonnées notamment en se servant des équations cartésiennes :rolling_eyes:

La question 3 ne pose elle pas de problème particulier
J'ai calculé les coordonnées de F qui sont (0;3) et les coordonnées de G qui sont (-1; -2) enfin j'ai calculer les vecteurs →GF et →GE et également montré qu'ils sont colinéaires pour ainsi affirmer que les points E, F et G sont alignés.

Merci d'avance
A bientot !

Bonjour,
Ta première réponse est incorrecte : si CD= 2AB, ABDC est seulement un trapèze.
Pour un parallélogramme, il faudrait CD = AB

Les vecteurs sont en gras.

... suite :
Le reste me paraît correct.
Pour la question 2)b), ton raisonnement est juste mais ton professeur exigera peut-être que tu justifies tes réponses par un théorème ou un calcul de vecteurs.
Tu peux aussi évidemment résoudre le système constitué des équations des deux droites.

Merci beaucoup !
Je vais donc essayer de résoudre le système avec les équations des deux droites

Bon courage.
A+

Bonsoir !
Comment faut- il faire pour résoudre un système déjà ?

Merci d'avance

Oh là !
Tu es en première non ?
Il y a plusieurs méthodes.
Ici, pour un système de 2 équations à 2 inconnues, tu peux utiliser la méthode du déterminant.
Sinon, tu peux choisir de remplacer les équations par des équations équivalentes en utilisant des multiplicateurs bien choisis.
Tu peux enfin exprimer une des inconnues en fonction de l'autre à l'aide d'une équation, puis remplacer dans la seconde.
Sauf erreur de ma part, le système est :
6x + y = 14
4x -3y = -20
Multiplie la première par 3, ne touche pas à la seconde, ajoute les deux : tu trouves x.

En fait c'est revenu tout seul c'est un peu rassurant
J'ai d'abord fait:
y = -14+6x
y = 14-6x
et j'ai remplacé y dans l'équation cartésienne suivante
ce qui m'a donné :
-4x + 3(14-6x) -20 =0

4x - 18x + 22 = 0
-22x = -22
x = 1

et pareil pour trouver y
j'ai d'abord fait :
-4x+3y-20=0
-4x = 20 -3y
x= -5 + 3/4 y
et j'ai remplacé x dans l'équation cartésienne suivante ce qui m'a donné:
-6x * (-5+3/4y) -y +14 =0
30 - 9/2y - y +14 = 0

5.5y = -44
y = 8

je n'ai pas fait d'erreur ?

Merci beacoup !

Citation
y = -14+6x
y = 14-6xC'est contradictoire. J'imagine que c'est une faute de frappe.
Sinon, pas d'erreur, mais la seconde partie est maladroite.
Tu sais que les droites sont sécantes (tu l'as démontré), donc tu es sûr que le système admet une solution et une seule.
Ayant en premier trouvé x, il suffit ensuite de remplacer x par 1 dans l'une des équations pour trouver y.
Dans les classes antérieures, on demande souvent une "vérification" ( tu remplaces aussi x par 1 mais dans l'autre équation et tu trouves le même résultat pour y).
Mais ici, pas besoin de vérification à partir du moment où tu as bien précisé que le système admet une solution et une seule.

c'était une faute de frappe en effet !
D'accord, il faut donc bien que que je précise que E ne peut avoir qu'un seul couple de coordonnées puisqu'il est l'intersection des droites (AC) et (BD) et que je remplace x par 1 pour trouver y ce qui est plus simple

Merci encore Mathtous !

De rien.
J'espère que tu as terminé car je dois me déconnecter.
En tout cas tu as bien travaillé. Continue ainsi.
Si tu as encore des questions ce soir, envoie un MP : il y a en ligne des intervenants compétents.
A+
Tu peux aussi me joindre directement sur mon site : le lien bleu en bas des messages.

Oui j'ai fini pour cet exercice.
Je vais maintenant m'atteler aux autres exercices du DM
Je vous contecterai en cas de besoin, Merci