Convergence et limite d'une suite

Bonjour à tous,
J'ai un DM de maths qui sera ma derniere note de trimestre. Je dois avoir 18 pour avoir 12 de moyenne, j'ai fait les deux derniers exos mais le premier est super dur (pour moi en tout cas). Pourriez vous me dépanner ?

On considère la suite u telle que u0=0 :Un+1= ((racine de 2)/2)*racine de (1+Un)

1°)a) Montrer que pour tout entier n strictement positif, on a l'encadrement : ((racine de 2)/2) < Un < 1
b) Etudier le sens de variation de la suite u et en déduire qu'elle est convergente

2°)a) Montrer que, pour tout nombre x apartenant à l'intervale [0;pie] : racine de ((1+cosX)/2) = cos(X/2)
b) Montrer alors que pour tout entier naturel n : Un = cos(pie/2^n+1)
Determiner ainsi la limite de la suite u.

Merci d'avance !!

Bonjour,
1)a) Par récurrence sur n, en commençant par encadrer $u_{n+1}$ ²
Attention, pour n=1, l'inégalité de gauche est une égalité. Ensuite, les inégalités sont strictes.
1)b) Tu peux utiliser la fonction auxiliaire f(x) = (√2/2)(√(1+x))
2)a) Les formules donnant cos 2a en fonction de cos a
2)b) Par récurrence sur n, en utilisant le résultat du 2)a)
La conclusion est immédiate.