Vecteurs dans un parallèlogramme



  • Bonsoir à tous 🙂
    J'ai un exercice maison à rendre pour lundi et je bloque sur un des exercices. Si vous pouviez m'éclairer un peu ce serai génial ! 😄

    L'énoncé est le suivant :
    ABCD est un parallélogramme.
    soit a un réel non nul
    on considère les points M, N et P tels que →AM= a →AD , AN = 1/a →AB et →MP = →AN

    1. faire la figure sur un logiciel de géométrie
      tracer les droites (BM), (CP) et (DN)
    2. faire varier a. quelle conjecture peut on faire ?
    3. en se plaçant de le repère (A;B;D), démontrer le résultat conjecturé

    Alors: J'ai fais la figure sur Géogébra, non sans difficulté, et en traçant les droites j'ai pu conjecturer qu'elles étaient toutes parallèles entre elles.

    1. Dans le repère A, B, D je sais que A a pour coordonées (0;0) B(1;0) et D (0;1)
      Afin de démontrer le résultat conjecturé je pense qu'il faut prouver que les vecteurs →BM, →CP et →DN sont colinéaires
      Je cherche donc à trouver les vecteurs directeurs de ces différentes droites.

    J'ai d'abord essayé de trouver le vecteur directeur de la droite (BM)
    je sais que →AM = a →AD
    →AM = a (0-0 ; 1-0) = a (0; 1)
    Ai je le droit de dire que
    →AM ( x-0; y-0)= (0;a)
    donc que M a pour coordonées (0;a)
    et donc que →BM (0-1; a-0) donc que (BM) a pour vecteur directeur (-1; a)

    Si vous pouvez m'indiquez si mon raisonnement est totalement faux ou si au contraire il est correct ce serait gentil 🙂
    Car je pense que si j'ai faux dès le début je me tromperai également pour déterminer les vecteurs directeurs des autres droites.

    Merci d'avance 😄



  • Bonjour,
    Ton raisonnement est juste.
    Citation
    Ai je le droit de dire que
    →AM ( x-0; y-0)= (0;a)
    donc que M a pour coordonées (0;a)Oui. Précise que x et y sont les coordonnées cherchées de M.
    Plus rapidement, A étant l'origine du repère, les coordonnées du point M sont exactement celles du vecteur AM.



  • D'accord je vois 😄
    Je vais essayer de trouver les vecteurs directeurs des autres droites.
    En cas de soucis je reviendrai vers vous

    Merci encore Mathtous !



  • Re bonsoir !
    Est - il normal que je trouve que →DN = (1/2; -1)
    et que →CP(1/a-1; a-1) ?
    Cela me paraît étrange, surtout que je n'arrive pas à prouver que ces trois vecteurs directeurs sont colinéaires :rolling_eyes:

    Merci d'avance !



  • Bonjour,
    Pour CP, c'est juste ( la première coordonnée est bien (1/a) - 1, pas 1/(a-1) ?)
    Pour DN, tu as dû mal recopier : c'est (1/a, -1) pas (1/2, -1) : c'est normal que ça dépende de a.
    Dans tout le problème, il doit être supposé que a ≠ 0 puisqu'on utilise son inverse.



  • En effet je suis partie du principe que →AN = 1/2 →AB au lieu de 1/a →AB
    C'est pour cela que mes résultats n'étaient pas cohérents !
    et pour les coordonnées de →CP j'ai bien ((1/a) -1 ; a -1)

    Merci encore 😄



  • Ensuite, tu trouves bien que les vecteurs sont colinéaires ( deux par deux )?



  • Non je ne les trouve pas colinéaires :frowning2:
    Je ne vois pas comment (1/a)x(a-1) - [(-1)x1/a-1) = O
    Je dois avoir une erreur quelque part dans mes vecteurs directeurs non ?



  • (1/a).(a-1) = (1/a).a -1/a.1 = 1 -1/a
    et (-1)x(1/a)-1 = -1/a + 1
    On trouve bien que les produits sont égaux.

    Pareil pour les vecteurs BM et DN, BM et CP

    Si les vecteurs sont colinéaires, les droites correspondantes, si elles existent, sont parallèles ou confondues.
    Ainsi, AB et AN sont colinéaires mais les droites (AB) et (AN) sont confondues.
    Si a = 1, les droites (DN) et (BM) sont confondues ( dessin), et la droite (CP) n'existe pas ( C et P sont confondus).



  • D'accord 😄
    J'ai compris !

    Merci beaucoup ! 😄



  • De rien, mais tu dois traiter à part le cas a=1, et justifier dans les autres cas que les droites sont bien strictement parallèles.



  • D'accord 🙂
    Je le ferai ! 🙂



  • OK
    A+


 

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