Centre de gravité et orthocentre d'un triangle (première S)

bonjour
J'aurai besoin d'un petit éclaircissement sur un exercice dont l'énoncé est le suivant:
soit ABC un triangle. les points I, J et K sont les milieux respectifs des côtés [AB], [AC] et [BC]
Les médianes (BJ) et (CI) se coupent au point G. Le point A' est le symétrique de A par rapport à G.

a) démontrer que BGCA' est un parallélogramme
En déduire que →GA + →GB + →GC = →0 et que [K] est le milieu de [GA']
b) démontrer que les vecteurs →AG et →AK sont colinéaires.
Quelle propriété a-t-on démontrée ?
Soit O le centre du cercle circonscrit de ABC et le point H défini par →OH = →OA+→OB+→OC
a) démontrer que →AH=2→OK
En déduire que (AH) est la hauteur issue de A du triangle ABC.
b) en procédant de même, démontrer que (BH) et (CH) sont deux autres hauteurs du triangle ABC.
quelle propriété a-t-on démontrée?
Démontrer que les points O, G et H sont alignés.

Je ne parviens pas à montrer que BGCA' est un parallélogramme car j'aurai aimé me servir du fait que →AG = 2/3 →AK mais mon professeur m'a signalé qu'on ne pouvait utiliser cette donnée car c'était la l'objectif de l'exercice et qu'il fallait se servir du théorème de la droite des milieux mais je ne vois absolument pas comment faire.

Merci d'avance

Bonjour,
Oublie pour l'instant le point K
Utilise le th de la droite des milieux dans le triangle AA'C.

Dans le triangle AA'C cela prouve que (JG) est parallèle à (CA')
sachant que J, G et B sont alignés cela veut dire que (GB) et (CA') sont parallèles et que [JB] vaut 1/2 de (CA') non ?
C'est suffisant pour dire que BGCA' est un parallélogramme ou il faut également prouver que [GB] et [CA'] sont de même longueur ?

Attention à tes notations :
Citation
[JB] vaut 1/2 de (CA')Un segment n'est pas la moitié d'une droite .
Si tu prouves que GB = CA' ( les longueurs), cela ne suffira pas pour obtenir un parallélogramme ( on pourrait avoir un trapèze isocèle croisé).
Non : le plus simple est de démontrer de manière analogue que les droites (GC) et (BA') sont parallèles, en utilisant le même th avec un autre triangle.

D'accord
Donc il faut que je dise:
Dans le triangle AA'B on sait que G est le milieu de [AA'] et que I est le milieu de [AC]
en appliquant le th de la droite des milieux on obtient donc [GI] // [A'B] sachant que C, G, I sont alignés on peut dire que (GB) // (A'B)

on a donc: [CA'] et [GB] qui sont parallèles & [GB] et [A'B] qui sont parallèles. BGCA' est donc un parallélogramme

Oui, mais comme je te l'ai dit, fais attention à tes notations.
[GI] désigne un segment, (GI) désigne une droite, GI désigne une longueur (distance).
Sur ce forum on convient souvent (mais ce n'est pas une notation mathématique) de désigner les vecteurs en caractères gras : ex AB

D'accord
Mais dans ce cas précis je ne dois pas parler de vecteurs si ?

Pas pour le moment : les droites parallèles suffisent.
Ensuite, tu dois démontrer une égalité sur des vecteurs.

Mais pour déduire que GA + GB + GC = 0 il faut que je démontre quelque chose en particulier ou juste dire que G étant le point d'intersection des trois médianes du triangle ABC suffit ? car G est le centre de gravité

Non : c'est précisément l'objectif du problème : on veut démontrer que les médianes sont concourantes. Tu ne peux donc pas utiliser ce résultat.
Tu dois utiliser ce que tu as démontré: GBA'C est un parallélogramme, donc cela te permet de compléter :

GB + GC = ?

GB + GC = GA' non ?
sachant que GA' et -GA sont égaux on peut dire
que GB + GC + GA = O
c'est ça ?

Oui.

Donc si je ne me trompe pas on a bien:

AG = 1/2 AA'
et AK= 3/4 AA'
Ces vecteurs sont donc colinéaires
on a donc démontrer que les points A, G et K étaient alignés
on peut donc conclure que la médiane [AK] passe par G
et que AG= 2/3 AK ?

Non : ton raisonnement est faux.

AG = 1/2 AA', oui.
Mais AK = 3/4 **AA'**non : là encore tu utilises ce que l'on demande précisément de démontrer : que les points sont alignés.
Que sais-tu de K ?

Je sais que K vaut la moitié de GA' puisque les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu

Tu t'exprimes mal : K est un point, pas un vecteur. K est le milieu du segment [GA']
Citation
puisque les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieuet que K est déjà le milieu de [BC].

K est donc situé sur quelle droite ?

Ah oui d'accord
Donc K est le milieu de [GA']
Donc K appartient à (GA') et A, G , et A' étant trois points alignés je peux dire que K appartient à (AA')
c'est ça ?

Oui.
Mais ton premier "donc" est suspect.

Je me corrigeais par rapport à mon erreur précedante
Dire que AG = 1/2 AA' et dire que K appartient à (AA') prouve donc bien que AG et AK sont colinéaires

J'ai donc démontré que la médiane [AK] passe par G ?

Oui, il suffit simplement de dire que les points sont alignés.

D'accord
J'ai encore une autre question Mathtous

Quand je dois déduire que (AH) est la hauteur issue de A du triangle ABC
Je dis qu'on vient de montrer que les AH et OK sont colinéaires donc que les droites (OK) et (AH) sont parallèles mais comment montrer que (AH) est perpendicualure à (BC) ?

O est le centre du cercle circonscrit à ABC, quelle est la nature du triangle OCB ?

Le triangle OAB est isocèle en O non ?

Oui, et K est le milieu du segment [BC] : conclusion ?

(OK) est perpendiculaire à (BC) ?

Oui, et puisque (AH) est parallèle (ou confondue) à (OK), ...

(OK) perdendiculaire à (BC) et (OK) parallèle à (AH) sachant que toute perdendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre
(AH) perdenculaire à (BC) !

Oui.

En fait je ne comprends pas pourquoi (Ok) est perdendiculaire à (BC)
je ne vois pas en quoi dire que OAB est isoclèle en O et que K milieu de [BC] le prouve :rolling_eyes:

Il me semble que j'ai dû faire une faute de frappe : c'est du triangle OBC dont il s'agit.

K milieu de [BC] donc K est situé sur la médiatrice de [BC] ( elle passe par le milieu de [BC]).
OC = OB (triangle isocèle) donc O est équidistant de C et de B. Il est donc situé sur la médiatrice de [BC].
La médiatrice de [BC] est donc la droite (OK) : elle est perpendiculaire à (BC).

Merci
Je comprends mieux !

Il faut faire la même méthode pour prouver que (BH) et (CH) sont les deux autres hauteurs du triangle ABC ?

Désolé pour la coquille.
Tu sais faire la suite ?

Ce n'est pas grave

Heu bah non je n'arrive pas à faire de même pour les droites (BH) et (CH)
Je ne vois pas trop comment faire

Exactement de la même manière.
Pour la hauteur issue de B :
Soit B' le symétrique de B par rapport à G : tu démontres que AGCB' est un pgr.
Tu considères BH que tu démontres égal à 2OJ.
Puis tu utilises le triangle OAC cette fois.

D'accord
J'essaie de faire tout ça et reviens vous voir Mathtous en cas de problème
Merci !!

En fait, puisque les raisonnements sont les mêmes, c'est plus fastidieux que difficile.
Tout dépend de ce que ton professeur accepte : souvent on ne recommence pas des démonstrations rigoureusement identiques (mais on indique pourquoi elles le sont).

Il vaut mieux, si tu as besoin d'aide bien sûr, que tu t'attaques à la dernière question.

Il faut faire des égalités vectorielles pour prouver que les points sont alignés ?

Oui.
Tu dois essentiellement utiliser les égalités précédemment démontrées :

GA + GB + GC =0, et OH = OA + OB + OC

Est ce que c'est correct si je commence par affirmer que OG = OA + AG
Après il faut que je remplace OA par -OH+OB+OC ?

C'est juste mais j'ai peur que tu tournes en rond.
Plus logiquement :
pars de OH =OA + OB + OC
Puis décompose chacun des vecteurs de droite en utilisant la relation de Chasles avec le point G.