DM : fonctions dérivées et aires.



  • Bonsoir tout le monde !
    bon voilà j'ai un petit sujet amusant qui utilise l'aire des triangles et, normalement, les fonctions dérivées.
    alors, le sujet :

    Citation
    ABC est un triangle d'aire S dont les trois angles sont aigus. M est un point intérieur au triangle. On note P, Q, R les projetés orthogonaux respectifs de M sur les segments [AB], [BC], [CA]. On pose MP= p, MQ= q, MR= r et Sp, Sq, Sr sont les aires des triangles MAB, MBC et MAC.

    bon, j'ai fait le triangle je me suis dit que ca vous aiderait à visionner le "truc" :

    http://img302.imageshack.us/img302/9365/numriser00012in.jpg

    Bon il faut aussi savoir que j'ai démontré précedemment dans l'exercice que ((u+v+w)/3)^3 >= uvw et que ((u+v)/2)² >= uv et surtout, que la fonction f définie par f(x) = 1/x ((u+v+w)^3/3) a un minimum supérieur à uv.

    pour finir : l'énoncé de l'exercice (ca peut être utile) :

    Citation
    En faisant jouer à Sp, Sq, Sr les rôles respectifs de u, v, w ; démontrez que :

    pqr <= (8S^3)/27abc

    j'aimerais avoir une piste, tous ces petits nombres me font peur et je ne comprends pas très bien que faire.
    J'ai eu l'idée de remplacer S par Sp+Sq+Sr mais ca ne m'aide pas vraiment

    Merci beaucoup si vous pouvez m'aider 😄



  • Bon, j'ai durement travaillé et je n'avance pas plus loin que ça :

    equiv/ (8/abc)((u+v+w)/3)^3 >= pqr

    génial ! j'ai retrouvé ((u+v+w)/3)^3 :rolling_eyes: !! bon je vais continuer mais une petite aide serait vraiment la bienvenue, je stagne beaucoup. Merci !



  • As-tu vu le chapitre avec Al Khashi, théorème de la médiane etc .... en application du produit scalaire ??

    Parce que si oui, a formule de l'aire d'un triangle S = (1/2) bc sin(angle A) est peut-être une piste !!!

    Il faut ausi ne pas oublier une hypothèse : on sait que les angles du triangle sont tous aigus.

    Je continue ma réflexion. Peut-être à plus tard.



  • Je dirais :

    du fait que
    S = SpS_p + SqS_q +Sr+S_r ...
    on a bien sûr
    S^3 = (Sp(S_p + SqS_q + SrS_r)^3

    d'où, avec le lemme (u + v + w)^3 >= 27 uvw
    S^3 >= 27 SpS_p SqS_q SrS_r

    Or
    SpS_p = pc/2, etc...

    Et l'inégalité en résulte après queqlues manipulations.

    L'hypothèse sur les angles sert à assurer que les hauteurs soient bien intérieures au triangle
    et que les triangles MAB, MAC et MBC reconstituent effectivement ABC.


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