DM : fonctions dérivées et aires.

Bonsoir tout le monde !
bon voilà j'ai un petit sujet amusant qui utilise l'aire des triangles et, normalement, les fonctions dérivées.
alors, le sujet :

Citation
ABC est un triangle d'aire S dont les trois angles sont aigus. M est un point intérieur au triangle. On note P, Q, R les projetés orthogonaux respectifs de M sur les segments [AB], [BC], [CA]. On pose MP= p, MQ= q, MR= r et Sp, Sq, Sr sont les aires des triangles MAB, MBC et MAC.

bon, j'ai fait le triangle je me suis dit que ca vous aiderait à visionner le "truc" :

Bon il faut aussi savoir que j'ai démontré précedemment dans l'exercice que ((u+v+w)/3)^3 >= uvw et que ((u+v)/2)² >= uv et surtout, que la fonction f définie par f(x) = 1/x ((u+v+w)^3/3) a un minimum supérieur à uv.

pour finir : l'énoncé de l'exercice (ca peut être utile) :

Citation
En faisant jouer à Sp, Sq, Sr les rôles respectifs de u, v, w ; démontrez que :

pqr <= (8S^3)/27abc

j'aimerais avoir une piste, tous ces petits nombres me font peur et je ne comprends pas très bien que faire.
J'ai eu l'idée de remplacer S par Sp+Sq+Sr mais ca ne m'aide pas vraiment

Merci beaucoup si vous pouvez m'aider

Bon, j'ai durement travaillé et je n'avance pas plus loin que ça :

equiv/ (8/abc)((u+v+w)/3)^3 >= pqr

génial ! j'ai retrouvé ((u+v+w)/3)^3 :rolling_eyes: !! bon je vais continuer mais une petite aide serait vraiment la bienvenue, je stagne beaucoup. Merci !

As-tu vu le chapitre avec Al Khashi, théorème de la médiane etc .... en application du produit scalaire ??

Parce que si oui, a formule de l'aire d'un triangle S = (1/2) bc sin(angle A) est peut-être une piste !!!

Il faut ausi ne pas oublier une hypothèse : on sait que les angles du triangle sont tous aigus.

Je continue ma réflexion. Peut-être à plus tard.

Je dirais :

du fait que
S = $S_p$ + $S_q$ $S_r$ ...
on a bien sûr
S^3 = $S_p$ + $S_q$ + $S_r$ )^3

d'où, avec le lemme (u + v + w)^3 >= 27 uvw
S^3 >= 27 $S_p$ $S_q$ $S_r$

Or
$S_p$ = pc/2, etc...

Et l'inégalité en résulte après queqlues manipulations.

L'hypothèse sur les angles sert à assurer que les hauteurs soient bien intérieures au triangle
et que les triangles MAB, MAC et MBC reconstituent effectivement ABC.