Exercice dérivation

[poiuytre]

Bonjour,

Je ne comprend pas comment faire cette question :

Démontrer que pour tout h ∈ ]-0.1 ; 0.1 [ on a$|\left$ $\frac{h^2}{h^2+3h}$$|\left$ < 1

Merci de votre aide

[Anonyme]

Hello Poiuytre

Je te propose d'étudier le signe
de $|\frac{h^2}{h^2+3h}$$|\left$

puis selon le signe supprimer la valeur absolue
et tout ramener d'un coté de l'inégalité ...
... puis de nouveau étudier le signe de l'expression
simplifiée

[mtschoon]

Bonjour,

Remarque :une valeur absolue étant , par définition positive, ce n'est pas le signe de $|\frac{h^2}{h^2+3h}|$ qu'il faut étudier ( comme indiqué précédemment ) , mais le signe de $\frac{h^2}{h^2+3h}$

Pistes,

Soit $g(h)=\frac{h^2}{h^2+3h}$

Nécessairement h ≠ 0 pour que g(h) soit défini.

DEUX CAS à étudier.

1er CAS : h positif , c'est à dire 0 < h < 0.1

Cas "évident "

Tu justifies que le numérateur et le dénominateur de g(h) sont positifs donc
g(h) > 0 donc |g(h)|= g(h)
Le dénominateur étant supérieur au numérateur , nécessairement |g(h)| < 1

2eme CAS : h négatif , c'est à dire -0.1 < h < 0

$g(h)=\frac{h^2}{h(h+3)}$

Tu justifies que le numérateur de g(h) est positif et que le dénominateur est négatif donc g(h) < 0 donc |g(h)|=-g(h)

Tu peux écrire :
$|g(h)|=\frac{h^2}{-h^2-3h}=\frac{h^2}{-h(h+3)}$
Ainsi écrits , le numérateur et le dénominateur de |g(h)| sont positifs

Si tu connais , tu peux raisonner par équivalences logiques

<img style="vertical-align:middle;" alt="|g(h)| < 1 \Leftrightarrow \frac{h^2}{-h(h+3)} < 1 \Leftrightarrow h^2<-h^2-3h \Leftrightarrow 2h^2+3h < 0 \Leftrightarrow h(2h+3) < 0" title="|g(h)| < 1 \Leftrightarrow \frac{h^2}{-h(h+3)} < 1 \Leftrightarrow h^2<-h^2-3h \Leftrightarrow 2h^2+3h < 0 \Leftrightarrow h(2h+3) < 0" src="http://www.mathforu.com/cgi-bin/mimetex.cgi?|g(h)| < 1 \Leftrightarrow \frac{h^2}{-h(h+3)} < 1 \Leftrightarrow h^2<-h^2-3h \Leftrightarrow 2h^2+3h < 0 \Leftrightarrow h(2h+3) < 0">

Tu justifies facilement que la dernière inégalité est VRAIE.
Par équivalences logiques , tu peux déduire que la première est VRAIE.

Bon travail !