Exercice dérivation


  • P

    Bonjour,

    Je ne comprend pas comment faire cette question :

    Démontrer que pour tout h ∈ ]-0.1 ; 0.1 [ on a$|\left$ h2h2+3h\frac {h^2}{h^2+3h}h2+3hh2$|\left$ < 1

    Merci de votre aide


  • A

    Hello Poiuytre

    Je te propose d'étudier le signe
    de ∣h2h2+3h|\frac {h^2}{h^2+3h}h2+3hh2$|\left$

    puis selon le signe supprimer la valeur absolue
    et tout ramener d'un coté de l'inégalité ...
    ... puis de nouveau étudier le signe de l'expression
    simplifiée


  • mtschoon

    Bonjour,

    Remarque :une valeur absolue étant , par définition positive, ce n'est pas le signe de ∣h2h2+3h∣|\frac{h^2}{h^2+3h}|h2+3hh2 qu'il faut étudier ( comme indiqué précédemment ) , mais le signe de h2h2+3h\frac{h^2}{h^2+3h}h2+3hh2

    Pistes,

    Soit g(h)=h2h2+3hg(h)=\frac{h^2}{h^2+3h}g(h)=h2+3hh2

    Nécessairement h ≠ 0 pour que g(h) soit défini.

    DEUX CAS à étudier.

    1er CAS : h positif , c'est à dire 0 < h < 0.1

    Cas "évident "

    Tu justifies que le numérateur et le dénominateur de g(h) sont positifs donc
    g(h) > 0 donc |g(h)|= g(h)
    Le dénominateur étant supérieur au numérateur , nécessairement |g(h)| < 1

    2eme CAS : h négatif , c'est à dire -0.1 < h < 0

    g(h)=h2h(h+3)g(h)=\frac{h^2}{h(h+3)}g(h)=h(h+3)h2

    Tu justifies que le numérateur de g(h) est positif et que le dénominateur est négatif donc g(h) < 0 donc |g(h)|=-g(h)

    Tu peux écrire :
    ∣g(h)∣=h2−h2−3h=h2−h(h+3)|g(h)|=\frac{h^2}{-h^2-3h}=\frac{h^2}{-h(h+3)}g(h)=h23hh2=h(h+3)h2
    Ainsi écrits , le numérateur et le dénominateur de |g(h)| sont positifs

    Si tu connais , tu peux raisonner par équivalences logiques

    <img style="vertical-align:middle;" alt="|g(h)| < 1 \Leftrightarrow \frac{h^2}{-h(h+3)} < 1 \Leftrightarrow h^2<-h^2-3h \Leftrightarrow 2h^2+3h < 0 \Leftrightarrow h(2h+3) < 0" title="|g(h)| < 1 \Leftrightarrow \frac{h^2}{-h(h+3)} < 1 \Leftrightarrow h^2<-h^2-3h \Leftrightarrow 2h^2+3h < 0 \Leftrightarrow h(2h+3) < 0" src="http://www.mathforu.com/cgi-bin/mimetex.cgi?|g(h)| < 1 \Leftrightarrow \frac{h^2}{-h(h+3)} < 1 \Leftrightarrow h^2<-h^2-3h \Leftrightarrow 2h^2+3h < 0 \Leftrightarrow h(2h+3) < 0">

    Tu justifies facilement que la dernière inégalité est VRAIE.
    Par équivalences logiques , tu peux déduire que la première est VRAIE.

    Bon travail !


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