Nombres complexes : Demonstration par récurrence

Bonjour.
J'ai un problème avec une récurrence a faire.
Voila ma prof veut que je demontre par recurrence que $(zn)‾=(z‾)n\overline {(z^n)} = (\overline {z})^n$ . On nous donne une phrase pour nous aider qui nous dit : " On montre cela d'abord pour n entier naturel non nul (par récurence) et ensuite on pose n=p avec n entier relatif négatif non nul et p entier natuel non nul."

Je ne comprend rien a cette phrase. :mur:
Si je comprend, je dois, par récurence trouver dans un premier temps que cela est vrai pour n.
Mais je ne voit pas comment faire, dois-je le faire avec Pk+1 ?

Merci d'avance.

Bonsoir,

Visiblement , il faut que tu démontres cette propriété pour n ∈ Z( entiers positifs , négatifs , nul )

Tu commences par la démontrer pour n ∈ N , comme d'habitude , par récurrence ( vérification pour n=0 , puis transmission - on dit aussi hérédité )
Ensuite , tu as fait une faute dans ton énoncé .

Pour n entier négatif , tu posesn=-p
, avec p entier positif

Grace à la propriété démontrée ( par récurrence ) : tu peux dire que :

$(zp)‾=(z‾)p\overline {(z^p)} = (\overline {z})^p$

Avec les propriété des complexes , tu dois arriver à :

$(z−p)‾=(z‾)−p\overline {(z^{-p})} = (\overline {z})^{-p}$

c'est à dire à :

$(zn)‾=(z‾)n\overline {(z^n)} = (\overline {z})^n$

Bon,j'ai essayé de faire quelque chose, ça me donne

$\overline{(z^p+1)}=(\overline{z})^{p+1} \ \ \ \overline{z^p}x \overline{z}=(\overline{z})^{p}x(\overline{z}) \ \ \ (\overline{z})^px\overline{z} = (\overline{z})^px\overline{z}\$

Je suis sur la bonne voie ?

Bonjour,

Je comprends mal ta démarche .

As-tu compris mon explication ?

As-tu commencé par faire la démonstration par récurrence pour n ∈ N ?

Ensuite , pour n=-p avec p naturel , tu appliques simplement à p naturel ce que tu as démontré pour n naturel.

Tu peux ainsi l'utiliser pour prouver ( très rapidement ) la propriété demandée pour l'exposant -p

Pour la récurence avec n je dois faire ?

$\overline{(z^n+1)}=(\overline{z})^{n+1} \ \ \ \overline{z^n}x \overline{z}=(\overline{z})^{n}x(\overline{z}) \ \ \ (\overline{z)^n}x\overline{z} = (\overline{z})^nx\overline{z}\ \ (\overline{z)^n} = (\overline{z})^n\$

Et après, je fait la même chose avec -p ?

Ou je remplace tout simplement n par -p?

Pour la récurrence pour n ∈ N

Initialisation : Tu vérifies que pour n=0

$(z0)‾=(z‾)0\overline {(z^0)} = (\overline {z})^0$

Transmission ( ou hérédité )

Tu supposes que pour une valeur n de N

$(zn)‾=(z‾)n\overline {(z^n)} = (\overline {z})^n$

Tu démontres , avec cette hypothèse , que :

$(zn+1)‾=(z‾)n+1\overline {(z^{n+1})} = (\overline {z})^{n+1}$

DEMONTRATION ( début )

$(zn+1)‾=zn×z‾\overline {(z^{n+1})}=\overline {z^n \times z}$

Tu appliques la propriété vue en cours pour deux facteurs :

$(zn+1)‾=zn×z‾=zn‾×z‾\overline {(z^{n+1})}=\overline {z^n \times z}=\overline{z^n}\times \overline{z}$

Tu utilises l'hypothèse de la récurrence pour continuer et terminer

Ah !
C'est bon, avec tout ca j'ai enfin compris
Je vais finir tout ca ce soir.
Merci beaucoup pour votre aide.