Repère orthonormé et triangles isocèles



  • Bonjour à tous !

    J'ai quelques petits problèmes pour résoudre un exercice dont l'énoncé est le suivant :
    "(O;I,J) est un repère orthonormé. A a pour coordonnées (0;2) et B(1;0).
    Déterminez tous les points C de l'axe des abscisses tels que le triangle ABC soit isocèle."

    Après avoir dessiné ce repère, je pense que le triangle ne peut-être isocèle en B (du moins sur l'intervalle [0;+∞[ puisque la longueur AC sera toujours supérieure à celle de BC).

    Cependant si x= -2, le triangle ABC est isocèle A n'est-ce pas ?

    Enfin, avez-vous une méthode pour trouver tous les points possibles ...?
    Merci d'avance !



  • Bonjour,
    Nomme M(x,0) le point cherché.
    Calcule AB, puis BC et AC en fonction de x.

    PS : j'ai modifié le titre de ton sujet pour qu'il soit plus conforme à ton énoncé.



  • Merci beaucoup ! Je vais essayer.
    Mais, pour tout x donné, AB restera de même longueur n'est-ce pas ?

    PS: D'accord pour le sujet ! Effectivement c'est plus approprié.



  • Bien sûr.
    En fait, tu peux te contenter des carrés des distances pour le moment.
    Mais tu dois envisager toutes les possibilités : le triangle peut être isocèle en A, ou en B, ou en C.



  • D'accord, merci.
    Pour calculer AB en fonction de x, cela reste AB puisque cette longueur ne peut-être modifiée ?
    Qu'est-ce que les "carrés des distances" ?
    Et, malgré de nombreux essais, je ne vois pas comment il peut-être isocèle en B ?



  • Citation
    Qu'est-ce que les "carrés des distances" ?AB² , BC² , AC².
    Que vaut AB² ? (oui, elle ne dépend pas de x).

    Citation
    Et, malgré de nombreux essais, je ne vois pas comment il peut-être isocèle en B ?Trace le cercle de centre B et de rayon BA.



  • Avec mon repère, AB est de 3.5 cm, AB² est donc égale à 12.25 cm.

    Effectivement j'ai bien trouvé un point tel que ABC soit isocèle en B, cependant ce n'est pas du tout un nombre exact ... (cf : sur mon repère, le point C se situe entre -1 et -1.5)



  • Avec une autre unité, AB² ne vaudrait plus 12.25 (cm² pas cm).
    En choisissant une unité égale à 1 (cm si tu veux), que vaut AB² ?
    Si tu traces bien le cercle, tu trouves non pas 1 mais 2 points pour que ABC soit isocèle en B.
    Évidemment, les abscisses de ces points ne sont pas entières !
    Qu'importe, tu dois calculer leur valeurs exactes (fi des valeurs approchées !).
    Pour cela, commence comme je te l'ai dit à calculer AB² , BC² , et AC², en utilisant les formules donnant la distance de deux points.



  • Ah oui, oups ! Et je trouve effectivement 2 poins pour que ABC soit isocèle en B, et un seul pour que ABC soit isocèle en A car l'autre point est B lui même.

    Mais c'est là où je bloque ... Pourquoi calculer les carrés des distances, alors que nous devons aboutir à des triangles isocèles ? Je ne vois pas comment faire ...



  • On calcule les distances afin de voir quand elles sont égales : un triangle isocèle a bien 2 côtés de même longueur ?
    Quant au calcul des distances, tu as une formule avec les coordonnées des points :
    AB² = (xA(x_A - xBx_B)² + (yA(y_A - yBy_B
    Qu'est-ce que cela donne pour AB² ?



  • Ah !

    Oui j'ai appris :
    AB² = (xB – xA)² + (yB – yA)²
    Ou bien:
    AB = √(xB – xA)² + (yB – yA)²

    Si j'applique cette formule, AB² = 1² + (-2)² = 5
    Donc AB = √5



  • Garde AB² : on n'a pas vraiment besoin de AB.
    Maintenant, calcule également BC² et AC² en fonction de x cette fois.



  • D'accord.
    Donc BC² = (xC - xB)² + (yC-yB)²
    = (xC - 1)² + (0 - 0)²
    = (xC - 1)²
    et AC² = (xC)² + 4



  • Excuse, il y a "rencontre" entre deux lettres : j'ai appelé C ce que j'avais appelé M.
    Par conséquent, xC c'est x.

    On a donc, en résumé : C(x;0) ( ou M(x;0))
    AB² = 5
    BC² = (x-1)²
    AC² = x²+4

    Le triangle peut-il être isocèle en A ?
    Pour cela on doit résoudre l'équation AB² = AC²,
    donc 5 = x² + 4
    Qui admet 2 solutions dont une seule est acceptable ( sinon on retombe sur C=B)

    Tu traites de même les deux autres possibilités.

    Tu dois y arriver sans aide.
    De toute façon je dois me déconnecter.
    A+ et bon courage.



  • J'ai ensuite calculé, pour ABC isocèle en B : AB² = BC² (j'ai trouvé deux valeurs de x possibles).
    Je fais donc de même pour ABC isocèle en A puis en C ?

    Excusez-moi, j'ai répondu sans avoir vu votre réponse. C'est donc bel et bien ce que j'ai fais ! Merci beaucoup pour votre aide, bonne soirée !



  • Bonjour,
    Citation
    J'ai ensuite calculé, pour ABC isocèle en B : AB² = BC² (j'ai trouvé deux valeurs de x possibles).Quelles sont ces deux valeurs ?

    Citation
    Je fais donc de même pour ABC isocèle en A puis en C ?Bien sûr !


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