aire maximale d'un triangle



  • Bonjour,

    J'ai un exercice de math,

    voici l'enoncé

    P la parabole d'equation x²
    soit D la droite d'équation y=x+6

    1. determiner les points d'intersection de la droite D et de la parabole P

    alors ça j'ai réussis, il fallaitposer l'equation x²=x+6 ... trouver par factorisation (x+2)(x-3)=0 donc les points d'abscisse -2 et 3 et après trouver les ordonnés. Ce qui donne A(-2;4) et B(3;-9)

    1. Soit M un point d'abscisse x de la parabole P de l'arc de parabole AB
      (x est tel que xA ≤ x ≤ xB) (les deux < sont en realité plus petit ou egal je ne sais pas comment faire autrement)

    Et c'est la que je bloque, une personne de la classe aurait trouvé a partire de la fonction dérivée, mais je ne vois pas le rapport entre l'aire maximal du triangle et la fonction dérivée. J'ai trouvé que l'endroit ou le triangle avait la plus grande aire etait lorsque le point M a pour abscisse le milieu des abscisses de A et B

    la question est donc de trouver pour quelle position de M l'aire du triangle AMB est-elle maximale, et la je suis totalement bloqué 😕

    Merci d'avance


  • Modérateurs

    Bonsoir,

    titer22 , tu sèmes le désordre en jonglant sur deux topics ...évite à l'avenir si tu ne veux pas que tes questions disparaissent .

    Pour la 2) , calcules l'aire , que tu appeleras f(x) , du triangle AMB , en fonction de x.

    Tu pourras ainsi étudier les variations de f en fonction de x pour -2 < x < 3 et tu en déduiras la valeur de x pour laquelle l'aire est maximale .



  • Tout d'abord merci de me repondre,

    j'ai jonglé sur les deux topics car j'ai poster ma question avant de voir l'autre, et je l'ai précisé dans ma premiere réponse.

    la formule de l'aire du triangle est (base*hauteur)/2 et je vois pas trop comment en faire une fonction


  • Modérateurs

    Tu auras forcément l'aire en fonction de x vu que M a pour coordonnées (x,x²)

    Ne prends pas la formule que tu indiques pour l'aire du triangle AMB car tu ne connais pas de hauteur...

    Pense à faire la différence d'aires de trapèzes.

    ( Place H(-2,0) et H'(3,0) pour former les trapèzes.)



  • je vais peut etre paraitre "debile", mais je ne vois pas de trapèze, et j'ai placé les deux points et j'y met toute ma bonne volonté, je passe peut etre a coté de qqch ?


  • Modérateurs

    les bases des trapèzes sont parallèles à l'axe des ordonnées.
    ( tourne ta feuille pour les voir "horizontales" )



  • et il faut prendre les points (0;6) et (0;0) pour les deux trapeze ? si je considere mon hypothese bonne je fais donc (4+6)*2/2=10 et (6+9)*3/2=22.5

    et apres la difference des deux 22.5-10=12.5

    ou si c'etait le rapport 22.5/10=2.25 ou 10/22.5 =0.44


  • Modérateurs

    Si c'est bien l'aire du triangle AMB que tu cherches :

    en appelant K le projeté de M sur l'axe des abscisses K(x,0)

    f(x)=aire(AMB)=aire(AHH'B)-aire(AHKM)-aire(MKH'B)

    Rappel : pour calculer l'air d'un trapèze , tu multiplies la demi-somme des bases par la hauteur



  • oui mais comment mettre des valeurs etant donné que l'on ne connait pas M et donc K non plus ?


  • Modérateurs

    Tu dois trouver une aire f(x) EN FONCTION de x

    KM=x²
    HA=4
    H'B=9

    Tu trouves HH' , HK , HH' et tu calcules l'aire de chacun des 3 trapèzes

    ( aire(AHKM) et aire(MKH'B) seront en fonction de x )


  • Modérateurs

    Dernier coup de pouce

    Tu peux t'aider tout simplement de ton graphique .
    Tu dois trouver HH'=5 , HK=x+2 , H'K=3-x

    Avec ça , tu calcules les aires des trapèzes et l'aire finale de AMB doit valoir , après simplifications : -5x²+5x+30 à diviser par 2

    Tu trouveras le maximum pour x=1/2 et l'aire du triangle sera f(1/2)

    Bons calculs !



  • Bonjour,

    j'ai essayer de faire le calcul avec les valeurs, d'abord je vous dit merci car je n'arrivais pas trop a fair la relation avec les x et je pense avoir reussis sauf que moi je trouve a la fin -3x²-3x+30, alors je voulais juste savoir si vous aviez fais une erreur ou alors moi (j'ai refait le calcul plusieur fois, avant de vous remettre en doute) car je n'aboutis absolument pas a -5x²+5x+30

    sinon j'ai quasiment fini et je vous remercie de votre aide


  • Modérateurs

    Recompte

    Cela fait précisément :

    652(x2+4)(x+2)2(x2+9)(3x)2\frac{65}{2}-\frac{(x^2+4)(x+2)}{2}-\frac{(x^2+9)(3-x)}{2}

    Mais...ton travail t'est personnel.

    Utilise le résultat que tu trouves.



  • Effectivement ... j'ai encore faux je viens de refaire le calcul et je trouve bien
    -5x²+5x+30 et je partais de la meme formule :frowning2:


  • Modérateurs

    C'est très bien ! tu t'entraînes.



  • oui, mais j'ai l'impression que vous avez pris mes reponse pour des reponses pretentieuses alors que ce n'etais absolument pas le cas, j'ai essayer pendant une heure cette apres midi de faire le calcul sans jamais tomber sur le bon resultat.


  • Modérateurs

    L'impression est sans importance titer22 . L'essentiel est d'y être arrivé !


 

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