points cocycliques, angles inscrits

[cecilia13]

Aidez moi SVP je bloque sur cette exo

HJK est un triangle et C son cercle circonscrit.
Soit L un point tel que
(LH${}^{\to }$ ; LJ${}^{\to }$) = (KH${}^{\to }$ ; KJ${}^{\to }$) + k$pi$
Démontrer que L est un point du cercle C

Merci d'avance de votre aide
kissssss

[Zauctore]

L'idée est la suivante.
Si L n'est pas sur le cercle, il est par exemple intérieur à celui-ci ;
Soit alors M à l'intersection de [HM) et du cercle. Avec les questions précédentes (de la dernière fois) tu as
(MH${}^{\to }$ ; MJ${}^{\to }$) = (KH${}^{\to }$ ; KJ${}^{\to }$) +k$pi$
donc on a (MH${}^{\to }$ ; MJ${}^{\to }$) = (LH${}^{\to }$ ; LJ${}^{\to }$) +k$pi$ (R)
Mais M est plus éloigné de la corde [JH] que ne l'est L ; donc la relation (R) ne peut être vraie. Donc L n'est pas strictement intérieur au cercle.
Le même genre d'argument en supposant que L est strictement extérieur au cercle permet de prouver en définitive que le point L est nécessairement sur le cercle.
Rq : le seul intérêt des angles de vecteurs ici est d'éviter d'envisager les cas où L et K sont situés sur le même arc (d'extrémités H et J) ou pas.