Recherche du sens de variation d'une fonction

Bonsoir,
Je galère depuis un bon moment sur un exercice que je n'arrive pas à résoudre et c'est pour cela que je viens demander de votre aide.
Je vous donne l'énoncé :

*Soit f la fonction définie sur I=]-1;+infini[ par $f(x)=((x-1)(4x^2+12x+9))/(x+1)^2$

Trouver les réels a, b et c tels que, pour tout réel x de l'intervalle I, $f(x) = ax+ (b/x+1)+(c/(x+1)^2)$
On admet que la fonction g défini sur l'intervalle I par $g(x)=1/(x+1)^2$ est décroissante. En utilisant les définitions, en déduire le sens de variation de la fonction f sur I.*

Voila merci d'avance pour vos réponses et votre aide.

Bonsoir ,

Tu dois utiliser la méthode uuelle par IDENTIFICATION

a) En developpant le numérateur de f(x) ( première écriture):

$f(x)=4x3+8x2−3x−9(x+1)2f(x)=\frac{4x^3+8x^2-3x-9}{(x+1)^2}$

b) Tu transformes la seconde expression de f(x) en réduisant au même dénominateur (x+1)²

La numérateur sera un polynome du troisième degré de variable x

Tu identifieras ce numérateur avec $4x^3+8x^2-3x-9$

Tu obtiendras ainsi un sytème d'inconnues a,b,c à résoudre

( Sauf erreur , tu dois trouver a=4 , b=-7 , c=-2 )

Je ne comprend pas très bien pour le a) pourriez vous être un peu plus clair svp ? Merci

Pour le a) , je détaille car j'avais mal lu la fonction

$x-1)(4x^2+12x+9)=4x^3+12x^2+9x-4x^2-12x-9=4x^3+8x^2-3x-9$

Pour le b) , après réduction au même dénominateur :

$f(x)=\frac{ax^3+2ax^2+(a+b)x+(b+c)}{(x+1)^2$

Tu dois donc résoudre le système :

$\left{a=4\2a=8\a+b=-3\b+c=-9\right$