Recherche du sens de variation d'une fonction



  • Bonsoir,
    Je galère depuis un bon moment sur un exercice que je n'arrive pas à résoudre et c'est pour cela que je viens demander de votre aide.
    Je vous donne l'énoncé :

    *Soit f la fonction définie sur I=]-1;+infini[ par f(x)=((x1)(4x2+12x+9))/(x+1)2f(x)=((x-1)(4x^2+12x+9))/(x+1)^2

    1. Trouver les réels a, b et c tels que, pour tout réel x de l'intervalle I, f(x)=ax+(b/x+1)+(c/(x+1)2)f(x) = ax+ (b/x+1)+(c/(x+1)^2)
    2. On admet que la fonction g défini sur l'intervalle I par g(x)=1/(x+1)2g(x)=1/(x+1)^2 est décroissante. En utilisant les définitions, en déduire le sens de variation de la fonction f sur I.*

    Voila merci d'avance pour vos réponses et votre aide. 😄


  • Modérateurs

    Bonsoir ,

    Tu dois utiliser la méthode uuelle par IDENTIFICATION

    a) En developpant le numérateur de f(x) ( première écriture):

    f(x)=4x3+8x23x9(x+1)2f(x)=\frac{4x^3+8x^2-3x-9}{(x+1)^2}

    b) Tu transformes la seconde expression de f(x) en réduisant au même dénominateur (x+1)²

    La numérateur sera un polynome du troisième degré de variable x

    Tu identifieras ce numérateur avec 4x3+8x23x94x^3+8x^2-3x-9

    Tu obtiendras ainsi un sytème d'inconnues a,b,c à résoudre

    ( Sauf erreur , tu dois trouver a=4 , b=-7 , c=-2 )



  • Je ne comprend pas très bien pour le a) pourriez vous être un peu plus clair svp ? Merci 😄


  • Modérateurs

    Pour le a) , je détaille car j'avais mal lu la fonction

    (x1)(4x2+12x+9)=4x3+12x2+9x4x212x9=4x3+8x23x9(x-1)(4x^2+12x+9)=4x^3+12x^2+9x-4x^2-12x-9=4x^3+8x^2-3x-9

    Pour le b) , après réduction au même dénominateur :

    $f(x)=\frac{ax^3+2ax^2+(a+b)x+(b+c)}{(x+1)^2$

    Tu dois donc résoudre le système :

    $\left{a=4\2a=8\a+b=-3\b+c=-9\right$


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