Maximum d'une fonction avec exponentielle

On considère la fonction fk définie sur l'ensemble R des nombres réels par
$fk(x)=(x+k)e^{-x}$ .
où k est un nombre réel donné.
On note Ck la courbe représentative de la fonction k dans un repère orthonormal.

Montrer que la fonction fk admet un maximum en x=1-k.
je dérive et je trouve:
f ' $k (x) = 2 e$ ^{-x} $xe-xke^{-x}$
on note Mk le point de la courbe Ck d'abscisse 1-k. Montrer que le point Mk appartient à la courbe T d'équation $y=e^{-x}$ .

je suis blouer pour c'est 2 questions
si quelqu'un pouvais m'aider merci d'avance!

Bonjour,
Ta dérivée est fausse.
Ne développe pas mais pose u = x+k, v = $e^{-x}$ et dérive le produit u.v

f 'k= $2 e$ ^{-x} $x+k)e^{-x}$

Je ne comprends pas d'où vient le "2".
Détaille : u' = ...
v' = ...

mathtous
Je ne comprends pas d'où vient le "2".
Détaille : u' = 1+1
v' = $e^{-x}$

Non : u = x+k, donc u' = 1 (k est une constante, sa dérivée est nulle)
la dérivée de v aussi est fausse.

$v=-e^{-x}$

f ' $f (x) = e$ ^{-x} $x+k)-e^{-x}$

Non.
Là aussi tu peux utiliser une fonction composée : $e^{-x}$ = $e^w$ avec w = -x
Donc ( $e^{-x}$ )' = $e^w$ )' = w' $e^w$ = ...

Citation
v=-e^{-x}$
Oui, pas vu la correction : messages croisés.
Tu peux donc reprendre le calcul de f' $_k$

f ' $k (x) = e$ ^{-x} $x+k)-e^{-x}$

Oui, mets $e^{-x }$ en facteur.

$e^{-x}$ [1+(x+k)-1]

Non.

$e$ ^{-x} $1+(x+k/e^{-x}$ )-1]

Pas du tout.
f '$$_k$(x)=e $^{-x}$ +(x+k)-e^{-x}$
Est déjà mal écrit : tu aurais dû mettre des parenthèses :
f '$$_k$(x)=e $^{-x}$ +(x+k)[-e^{-x} $] =$ e $^{-x}$ -(x+k)e^{-x}$
qui est de la forme a - (x+k)a

Toujours là ?
Tu dois donc trouver f' $_k$ (x) = $e^{-x}$ (1-x-k).
Pour quelle valeur s'annule-t-elle ?

ok merci
mais comment faire ensuite pour montrer que la fonction fk admet un maximum en x=1-k

ok merci
mais comment faire ensuite pour montrer que la fonction fk admet un maximum en x=1-k

Etudie le signe de la dérivée et dresse un tableau de variation.

e-x(1-x-k)=0
soit $e^{-x}$ =0
ou
1-x-k=0 alors x=1-k

Mais l'exponentielle n'est jamais nulle .
Et quel est son signe ?

alors la dérivée f 'k est positive de -∞ à 1-k puis elle négative de 1-k à+∞

et la fonction fk est strictement croissante de -∞ à 1-k et elle décroissante de 1-k à +∞

donc elle admet un maximum en x=1-k

c'est ça?

Oui.

merci et comment faut il faire pour la question 2?

Bonjour,
Le point $M_k$ a pour abscisse 1-k, et son ordonnée est $f_k$ (1-k) puisqu'il est sur $C_k$ .
Calcule cette ordonnée.

je vois pas comment faire...

$f$ _k $strong>x</strong>)=(<strong>x</strong>+k)e^{-x}$
Donc $f_k$ (1-k) = [(1-k) + k] $e^{-(1-k)}$
Effectue le calcul.

$f_k$ (1-k)=(k-k² $e^{k-1}$

Dans le crochet, c'est une addition, pas une multiplication.

$f$ _k $1-k)=e^{-1+k}$

Qui peut s'écrire $e^{-(1-k)}$ afin de répondre à la question : si on pose u = 1-k, les coordonnées de Mk sont donc (u, $e^{-u}$ ).
Par conséquent ...

1-k=x

Oui, x ou u qu'importe.
Relis la question 2 : que te demande-t-on ?

montrer que $M_k$ appartient à la courbe T d'équation
$y=e^{-x}$

Regarde les coordonnées du point Mk : vérifient-elles ou non cette égalité ?

oui elles les vérifient

En effet, c'est ce que je tentais de t'expliquer avec "u".
Si les coordonnées de Mk vérifient l'équation de T, c'est donc que Mk est situé sur T.

merci pour ton aide!

merci pour ton aide!

De rien.