Croissance, sens de variations et encadrement d'une fonction exponentielle

Bonjour à tous!
Voici l'énoncé de mon exercice...

L'objet de cet exercice est d'étudier la fonction f définie sur [0;+∞[ et de tracer rigoureusement sa représentation graphique dans un repère orthonormal (O,i,j) (unité 5cm).

Partie A:

Soit g la fonction définie sur [0;+∞[ par g(x)=e(x)-x-1.
a) Démontrer que g est strictement croissante sur [0;+∞[.
b) Calculer g(0) et en déduire que pour tout x>0; g(x) est strictement positif.
Soit h la fonction définie sur [0;+∞[ par h(x)=(2-x)*e(x)-1
a) Déterminer lim (x→+∞) h(x).
b ) Etudier les variations de la fonction h et en déduire son tableau de variations.
c) Démontrer que l'équation h(x)=0 admet une unique solution $α\alpha$ et que $α\alpha$ > 1
d) Donner un encadrement de $α\alpha$ d'amplitude 10^-2
e) Préciser, suivant les valeurs de x; le signe de h(x).

Partie B:

a) Justifier que f est définie sur [0;+∞[.
b) On admet que lim (x→+∞) f(x) =1, interpréter graphiquement ce résultat.
c) Démontrer que pour tout x de [0;+∞[, f'(x)= h(x)/(e(x)-x)²
d) En déduire le tableau complet de variations de f.
a) Démontrer que pour tout x de [0;+∞[, f(x)-x= ((1-x)*g(x))/(e(x)-x)
b) En déduire, suivant les valeurs de x, la position de la représentation graphique (C) de f par rapport à la droite (D) d'équation y=x.

JUSQU'ICI, J'AI PARFAITEMENT TOUT RÉUSSI.
C'EST A PARTIR DE CETTE QUESTION QUE JE BLOQUE:

a) En utilisant la définition de $α\alpha$ , exprimer e( $α\alpha$ ) en fonction de $α\alpha$ puis démontrer que f( $α\alpha$ )= 1/( $α\alpha$ -1)
b) A partir de l'encadrement obtenu au A)2)d); déterminer un encadrement de f( $α\alpha$ ) d'amplitude 3*10^-2.
( A la question A)2)d) j'ai trouvé que 1.84< $α\alpha$ <1.85 )

Voilà, ce serait vraiment un grand soulagement pour moi si vous pourriez m'aider, car je n'aime pas du tout ne pas finir un exercice, et cela fait déjà plus de deux heures que je passe à faire des calculs sur cette question, en vain !

J'ai pourtant utiliser le fait que h([tex]\alpha[/tex])=0 pour déterminer e([tex]\alpha[/tex]) mais je pense que ce que je trouve est bizarre...

MERCI D'AVANCE...

Bonjour,

Je n'arrive pas à voir l'expression de f(x)...l'as-tu donnée ?

Principe por débloquer ton problème :

$h(α)=0h(\alpha)=0$

$(2−α)eα−1=0(2-\alpha)e^{\alpha}-1=0$

$eα=12−αe^\alpha=\frac{1}{2-\alpha}$

Dans $f(α)f(\alpha)$ , remplace $eαe^\alpha$ par $12−α\frac{1}{2-\alpha}$ et termine le calcul .

Oups, oui j'ai oublié de la donner ! C'est :
f(x)= (e(x)-1) / ( e(x)-x).

J'ai trouvé e( $α\alpha$ ) comme vous et j'ai essayer de remplacer e $α\alpha$ dans f( $α\alpha$ ) mais je ne m'en sors pas, je n'arrive pas à trouver f( $α\alpha$ )= 1/( $α\alpha$ -1)

Je pense que c'est une identité remarquable qui t'a échappée.

$f(α)=12−α−112−α−αf(\alpha)=\frac{\frac{1}{2-\alpha}-1}{\frac{1}{2-\alpha}-\alpha}$

Tu dois réduire numérateur et dénominateur au même dénominateur $(2−α)(2-\alpha)$

Ensuite , tu simplifies par $(2−α)(2-\alpha)$

Tu dois trouver :

$f(α)=α−11−2α+α2f(\alpha)=\frac{\alpha-1}{1-2\alpha+\alpha^2}$

$f(α)=α−1(α−1)2f(\alpha)=\frac{\alpha-1}{(\alpha-1)^2}$

Il te reste à simplifier par $(α−1)(\alpha-1)$ pour trouver a réponse souhaitée.

Je viens d'essayer, et j'ai trouvé !
Merci beaucoup !!!!
En effet, c'est l'identité remarquable que je n'avais pas vu, et donc à partir de la j'avais essayer de faire pleins de simplifications qui m'ont conduite à l'erreur...

Merci encore pour votre aide !!!

J'ai encore une petite question à vous poser...

Que signifie un encadrement à 3*10^-2 ?

Car au A)2)d) j'ai trouvé : 1.84 < $α\alpha$ < 1.85
Donc la je peux mettre f(1.84) < f ( $α\alpha$ ) < f(1.85)
soit f(1.84) < 1/( $α\alpha$ -1) < f(1.85) ?

Ta démarche est la bonne ( si f est croissante , ce que je n'ai pas vérifié - sinon , change le sens de la double inégalité -).

Assure toi que la différence entre les deux bornes de l'encadrement de f(α) n'excède pas 0.03 (sinon , il te faudrait utiliser un encadrement plus fin de α ; mais si l'énoncé est bien fait , ça ne devrait pas se produire )

D'accord, merci beaucoup !
Si jamais je rencontre de nouveau un problème je vous le dirais, mais je pense que cela va fonctionner!

Merci encore pour cette aide précieuse!

D'accord ! Redemande si besoin .

Bonne fin de DM !

Merci