Démontrer une inégalité avec valeurs absolues et racines carrées
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Ppierresimpore dernière édition par Hind
salut à vous J'ai une démonstration qui me fatigue. V signifie racine carre.
soit a et b deux reels demontrer que:
Va^2+b^2<|a|+|b|<V2Va^2+b^2.
merci d avance
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mtschoon dernière édition par
Bonjour,
Je pense qu'il s'agit de démontrer que :
a2+b2≤∣a∣+∣b∣\sqrt{a^2+b^2} \le |a|+|b|a2+b2≤∣a∣+∣b∣
Pistes ,
Tu peux dire que a2=∣a∣\sqrt{a^2}=|a|a2=∣a∣ et b2=∣b∣\sqrt{b^2}=|b|b2=∣b∣
En raisonnant par équivalences logiques : par élévation au carré entre nombres positifs
a2+b2≤a2+b2↔a2+b2≤a2+b2+2a2b2\sqrt{a^2+b^2} \le \sqrt{a^2}+\sqrt{b^2} \leftrightarrow a^2+b^2 \le a^2+b^2+2\sqrt {a^2}\sqrt{ b^2}a2+b2≤a2+b2↔a2+b2≤a2+b2+2a2b2
En transposant , ceci équivaut à :
2a2b2≥02\sqrt{a^2}\sqrt{b^2} \ge 02a2b2≥0
Tu justifies que la dernière inégalité est vraie.
Par équivalence logique , la première le sera aussi.