3. arithmétique : multiple

arithmétique : multiple

  • E

    Bonjour,
    je voudrais savoir si c'est juste ce que j'ai fait :
    Exo : Soit x un réel différent de 1 et n un entier naturel .

    1. Calculer : 1+x+x² + ... + x^(n-1)
    2. En déduire que :
      pour tout a et b entiers relatifs et pour tout n entier naturel, a^n-b^n est un multiple de a-b

    Si ce n'est pas correct aidez-moi à me corriger svp fichier math
    Merci d'avance

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Bonjour et bon Noël ,

    1. Oui pour le calcul de s=1−xn1−xs=\frac{1-x^n}{1-x}s=1−x1−xn​

    Tu aurais pu dire que S est la somme des n premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison x, et obtenir le résultat directement.

    1. Vu la question , tu ne dois pas poser directement la factorisation ; il faut partir de la formule du 1) et obtenir la formule du 2)

    Grâce à la 1) , en faisant les produit en croix :

    1−xn=(1−x)(1+x+x2+...+xn−1)1-x^n=(1-x)(1+x+x^2+...+x^{n-1})1−xn=(1−x)(1+x+x2+...+xn−1)

    Tu poses : x=bax=\frac{b}{a}x=ab​

    D'où :

    1−bnan=(1−ba)(1+ba+b2a2+...+bn−1an−1)1-\frac{b^n}{a^n}=(1-\frac{b}{a})(1+\frac{b}{a}+\frac{b^2}{a^2}+...+\frac{b^{n-1}}{a^{n-1}})1−anbn​=(1−ab​)(1+ab​+a2b2​+...+an−1bn−1​)

    Il te reste à multiplier "judicieusement" chaque membre par ana^nan pour obtenir la factorisation souhaitée.

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