DM - Fonctions



  • Bonjour,

    Je dois faire donc un DM, mais je bloque a partir la question 3.
    Voila déjà le sujet, puis après les réponses (que j'ai trouvé) pour la 1 et la 2.


    Figure:

    http://www.ilemaths.net/img/forum_img/0465/forum_465132_1.gif

    Soit le rectangle colorié (voir figure), dont le quatrième sommet est le point A de coordonnées (1;2).
    Le point P a pour coordonnées (x;0) avec x>1.
    Q est l'intersection de la droite (AP) avec l'axe des ordonnées.
    On appelle L(x) la distance OQ et A(x) l'aire du triangle OPQ.

    Questions:

    1. Exprimer L(x) et A(x) en fonction de x.
    2. Remplir ce tableau de valeurs approchées pour ces deux fonctions:
      1.1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 4 | 5 | 6
      L(x)
      A(x)

    Quelles conjectures peut-on faire quant aux variations de L et de A ?

    1. Etudier, par le calcul, les variations de la fonction L, puis l'existence éventuelle de maximum et minimum pour L.

    2. Déterminer le signe de A(x) - A(2). Que vient-on de prouver pour A?

    3. Montrer que, pour a et b éléments de ]1;+infini[, on obtient:

    A(a) - A(b) =
    (a-b)[(a-1)(b-1)-1]
    (a-1)(b-1)

    1. Montrer que, si a < b, A(a)-A(b) a un certain signe sur l'intervalle ]1;2] et un autre signe sur l'intervalle [2;+infini[. Que vient-on de prouver pour A ?

    (j'ai fait une image pour faire les fractions et le tableau)

    http://img32.imageshack.us/img32/5237/dmmath3.png

    Après pour la suite je bloque..
    Rappel de la question 3:
    Etudier par le calcul les variations de la fonction L puis l’existence éventuelle de maximum et minimum pour L.



    1. L(x) = (2(x-1)+2))/(x-1)=2+2/(x-1) donc L(x) strictement décroissante sur le domaine étudié de +infini à 2 (minimum)
    2. A(x)-A(2)= 4x²/(x-1) -16 = (x²-4x+4)×4/(x-1)= (x-2)²×4/(x-1) donc toujours positif dans le domaine étudié, donc A(x) toujours strictement supérieur à 2 (minimum)
    3. A(x) est décroissante puis croissante, son minimum est en x=2 et A(2) = 16

 

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