Etude de la fonction tangente

Bonjour.

J'ai un gros problème avec mon dm sur la trigonométrie(je n'y comprend strictement rien a partir de la 2ème question...)

On me donne donc la fonction f défini sur ]-PI/2;PI/2[ par f(x)=sin(x)/cos(x)

Pour la première question, on me demande de prouver que f est impaire, ca c'est bon j'y suis arrivé, c'est aux limites que je coince.

One me demande de calculer la limite de f(x) quand x tend vers PI/2 et d'en déduire la limite de f(x)--->-PI/2

Je ne voit pas comment faire pour trouver les limites avec le cercle trigonométrique, ni comment les calculer...

Merci d'avance pour votre aide

Bonjour,

Etude pour x=∏/2

Vu l'intervalle d'étude ]-∏/2 , ∏/2[ , x tend vers ∏/2 par valeurs inférieures à ∏/2

Regarde le cercle trigonométrique :

sinx tend ver 1 et cosx tend vers $0^+$ donc f(x) tend vers ..............

Vu que f est impaire , tu pourras déduire la limite en -∏/2

Heu, cela veut dire que lim f(x) = +INF ?
x-->PI/2

Et pour -PI/2, vu que la fonction est impaire donc symétrique par rapport a 0, x tend vers -INF ?

PS:comment faites vous pour écrire vos PI ?

Tes réponses sont exactes.

Une remarque ( qui ne sert pas dans ton exercice ) $f(x)=sinxcosx=tanxf(x)=\frac{sin x}{cos x}=tan x$

( f est la fonction "tangente" )

Pour "pi" , regarde les codes au-dessous du cadre texte

Merci beaucoup^^

Par contre, je me demande comment je dois rédiger...
Est-ce que j'ai le droit de rédiger comme ca ?

Lim sin(x)=1
x--> PI/2

Lim cos(x)=0+
x-->PI/2

Lim f(x)= + INF
x--> PI/2

(Pour le PI, c'est avec le LaTeX?)

Pour la suite, je pense avoir compris grace a ce que vous avez dit
On me dit de prouver que f'(x)=1/cos²(x)=1+tan²(x)

J'ai donc fait :
f'(x)=-cos(x)Xcos(x)-(sin(x)X(-sin(x))/cos²(x)
F'(x)=-cos²(x)-sin²(x)/cos²(x)

Or vous avez dit que f(x)=sin(x)/cos(x)=Tan(x)
Donc f'(x)=1/cos²(x) car -cos²(x) - sin²(x) = 1
et f'(x)= 1 + tan²(x) car -sin²(x)/cos²(x)=tan²(x)

C'est ca ou je me suis trompé?

Pour ∏ ( sans Latex ) je t'ai déjà répondu : utilise les codes en dessous du cadre où tu écris ton texte .

Oui pour les limites , mais précise que x tend vers ∏/2 par valeurs inférieures à ∏/2

Pour f(x) , l'idée est bonne , mais tu as fait des erreurs de signe
( et sin²x+cos²x=1 )

Tu dois utiliser la dérivée de $uv\frac{u}{v}$ avec :

U(x)=sinx , U'(x)=cosx , V(x)=cosx et V'(x)=-sinx

f'(x)=(cosx)(cosx)-(sinx)(-sinx)/cos²x
f'(x)=cos²x+sin²x/cos²x

ici le calcul doit être bon non?

ensuite, pour trouver f'(x)=1/cos²x, ca marche car cos²x+sin²x=1

Et pour trouver f'(x)=1+tan²x
Est-ce que j'ai le droit de décomposer le quotient ?
et donc faire f'(x)= cos²x/cos²x + sin²x/cos²x= 1 + tan²x ?

Il mer semble que c'est juste...

C'est tout à fait juste !

Dans f'(x)=cos²x+sin²x/cos²x mets les parenthèses :
f'(x)=(cos²x+sin²x)/cos²x

On me demande après de prouver que la fonction tangente est périodique de période PI.

Je pensais faire comme ça :

tan(x+PI)=(sinx+PI)/(cosx+PI)=sinx/cosx=Tanx

Donc la fonction tan est prédiodique de période PI, j'ai le droit de faire comme ca ou pas?

Il faut détailler plus car les fonctions sinus et cosinus ne sont pas de période ∏ mais de péride 2∏

sin(x+∏) n'est pas égal à sinx et cos(x+∏) n'est pas égal à cosx

Avec le cercle trigonométrique ( ou les propriétés relatives aux angles associés ) :

sin(x+∏)=-sinx

cos(x+∏)=-cosx

Donc ................

Cela nous donne donc :
tan(x+ $p i$ )=(sinx+ $p i$ )/(cosx+ $p i$ )=-sinx/-cosx=sinx/cosx=Tanx ?

Je pense qu'ici le calcul est bon non?

Après, on me demande :" comment déduit-on la courbe de tan de celle de f dans un repère orthonormal"

Sachant que cos( $p i$ /2)=0 , et que tan(x)=sin(x)/cos(x), cos( $p i$ )/2 est une valeur interdite, on peut donc en déduire que la courbe de tangente ne sera pas continue.

C'est cela que je dois prouver ou je dois trouver autre chose ?

D'accord pour ton dernier calcul de tan(x+∏)

Le but de ta dernière question est de faire constuire toute la fonction tangente à partir de la constrution de la fonction f .

Sur ]-∏/2 , ∏/2[ :

$f(x)=sinxcosx=tanxf(x)=\frac{sinx}{cosx}=tanx$

Sur ]-∏/2 , ∏/2[ , la fonction tangente et la fonction f sont égales.

Vu que la fonction tan est périodique de période ∏ , connaissant la courbe de f sur ]-∏/2 , ∏/2[ , tu peux obtenir la courbe TOTALE de la fonction tangente en complétant f par périodicité de ∏ :

Tu complètes la courbe de f en faisant des translations de vecteur $v⃗=kπi⃗\vec{v}=k \pi\vec{i}$ avec k ∈ Z*

( le repère s'appelle $0,\vec{i},\vec{j})$ )

Ah c'est bon j'ai compris, mais je ne dois pas me limiter uniquement sur l'intervalle ]-PI/2;PI/2[ ?

f est limitée à l'intervalle ]-∏/2;∏/2[

Avec cela , tu déduis la réprésentation graphique de la fonction tangente sur R ( en faisant des translations , à partir de la courbe de f )

Regarde ici la représentation graphique de la fonction Tangente sur ]-2∏ , 2∏ [

http://fr.wikiversity.org/wiki/Fonctions_circulaires/Fonction_tangente

Ah d'accord, c'est bon j'ai compris, donc, la fonction f, je ne la représente que sur ]-∏/2;∏/2[ ,alors que la fonction tangente je la représente sur R.

OUi .

Merci
D'ailleurs, je voulez vous demandez, GeoGebra est un bon logiciel pour tracer les cercles trigonométriques ou vous m'en conseilleriez un autre?
(je pensais que ca pouvait aider pour certains éxo)

Geogebra est un excellent logiciel de construction géométrique qui permet de faire des figures dynamiques , mais je ne pense pas qui soit particulièrement utile pour des "cercles trigonométriques".

Si tu as des difficultés avec la lecture des sinus , cosinus , tangentes , je te suggère de prendre Google et de taper "cercle trigonométrique".
Tu pourras ainsi essayer les différents liens proposés et choisir ce qui peut t'aider.

Par exemple :

http://dundee.pagesperso-orange.fr/maths/cours/trigoc.htm