Suites, l'une en fonction de l'autre



  • Bonsoir,

    Voilà l'exercice pour lequel la fin m'a posé quelques petits soucis..

    **Soit (un(u_n) la suite définie pas u0u_0=3 et uu_{n+1}=2/1+un=2/1+u_n pour tout n∈N.

    1)Calculer les 5 premiers termes (on gardera les valeurs exactes). Que peut-on conjecturer sur la monotonie de la suite (un(u_n) ?

    1. Soit f la fonction telle que uu_{n+1}=f(un=f(u_n) (on admettra que unu_n≠-1 pour tout n∈N).
      a) Résoudre f(x)=x sur R{-1}.
      b) Etudier les variations de f sur R{-1} (on précisera les équations des asymptotes).
      c) Graphique à tracer.
      d) Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite (un(u_n) ?**

    Jusqu'ici aucun problème, tout s'est déroulé comme il faut. Si besoin de certaines réponses pour m'aider, demandez moi.

    Pour ces deux dernières questions la chose se complique quelque peu..

    **3) On pose vv_n=u=u_n1/un-1/u_n+2 pour tout n∈N.
    a) Démontrer que (vn(v_n) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
    b) Exprimer pour tout n, vnv_n en fonction de n.
    c) Déterminer en la justifiant la limite de (vn(v_n) lorsque n tend vers +∞.

    1. Etude de la limite de la suite (un(u_n).
      a) Exprimer unu_n en fonction de vnv_n.
      b) En déduire l'expression de unu_n en fonction de n.
      c) Déterminer la limite de (un(u_n) lorsque n tend vers +∞.**

    Si vous pouviez m'aider, du mois pour la 3)a, peut-être que cela pourrait me débloquer pour la suite..

    Merci pour le moindre petit coup de pouce. Bonne soirée a tous.


  • Modérateurs

    Bonsoir,

    Piste pour le 3)a)

    vn+1=un+11un+1+2=21+un121+un+2v_{n+1}=\frac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+2}=\frac{\frac{2}{1+u_n}-1}{\frac{2}{1+u_n}+2}

    Tu réduis le numérateur et le dénominateur au même dénominateur (1+Un(1+U_n)

    Après transformations , tu dois trouver :

    vn+1=1un4+2unv_{n+1}=\frac{1-u_n}{4+2u_n}

    Tu transformes pour faire apparaître VnV_n

    vn+1=12(1un2+un)=12(....)v_{n+1}=\frac{1}{2}(\frac{1-u_n}{2+u_n})=\frac{1}{2}(....)



  • Bonjour,

    Merci pour votre aide , donc je trouve

    3)a. Vn+1= 1/2Vn

    3)b. Vn= V0q^n
    Vn= 2/5
    (1/2)^n

    Est il possible de simplifié ?

    3)c Avec le résultat que j'ai pas simplifié je trouve lim Vn = 0

    4)a Un= -1-2Vn/Vn-1

    4)b Et la je bloque parce que je me doute qu'il remplacer Vn par ce qu'on trouve a la réponse 3)b mais vu que je sais pas si il y a une simplification la je trouve ça compliqué ...

    4)c Des que la 4)B est réussi je pense pouvoir réussir celle ci



  • Voila pour la 4)b je trouve : Un = (-1-4/52(1/2)^n)/(2/5(1/2)^n-1)


  • Modérateurs

    Oui pour 3)a) et 3)b) Simplifier ne servirait à rien.

    Pour Un , ton écriture n'est pas très simple à lire .

    J'ai l'impression qu'il y a un "2" de trop au numérateur . Peut-être une faute de frappe . Vérifie .

    Ca doit être :

    un=145(12)n25(12)n1u_n=\frac{-1-\frac{4}{5}(\frac{1}{2})^n}{\frac{2}{5}(\frac{1}{2})^n-1}

    Pour trouver la limite , cette expression est très bien !



  • Oui mais pourtant -1-2(2/5*(1/2)*n) donc on multiplie par 2, 2/5 et (1/2)*n
    non? ...



  • Pour la limite je trouve 1...


  • Modérateurs

    Oui ! C'est bien 1 .

    Pour le "2" de trop , tu confonds avec la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition

    a(b+c)=ab+ac

    MAIS ICI , il n'y a que des multiplications ( il s'agit de la propriété "d'assiociativité" de la multiplication. )

    Je te mets un exemple simple pour comprendre

    2×3×4=(2×3)×4=6×4=242\times 3 \times 4=(2\times 3)\times 4= 6\times 4=24

    Tu peux dire aussi :

    2×3×4=2×(3×4)=2×12=242\times 3 \times 4=2\times( 3\times 4)= 2\times 12=24


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