Suites, l'une en fonction de l'autre

Bonsoir,

Voilà l'exercice pour lequel la fin m'a posé quelques petits soucis..

**Soit $u_n$ ) la suite définie pas $u_0$ =3 et $u$ _{n+1} $2/1+u_n$ pour tout n∈N.

1)Calculer les 5 premiers termes (on gardera les valeurs exactes). Que peut-on conjecturer sur la monotonie de la suite $u_n$ ) ?

Soit f la fonction telle que $u$ _{n+1} $f(u_n$ ) (on admettra que $u_n$ ≠-1 pour tout n∈N).
a) Résoudre f(x)=x sur R{-1}.
b) Etudier les variations de f sur R{-1} (on précisera les équations des asymptotes).
c) Graphique à tracer.
d) Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite $u_n$ ) ?**

Jusqu'ici aucun problème, tout s'est déroulé comme il faut. Si besoin de certaines réponses pour m'aider, demandez moi.

Pour ces deux dernières questions la chose se complique quelque peu..

**3) On pose $v$ _n $= u$ _n $1/u_n$ +2 pour tout n∈N.
a) Démontrer que $v_n$ ) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
b) Exprimer pour tout n, $v_n$ en fonction de n.
c) Déterminer en la justifiant la limite de $v_n$ ) lorsque n tend vers +∞.

Etude de la limite de la suite $u_n$ ).
a) Exprimer $u_n$ en fonction de $v_n$ .
b) En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de n.
c) Déterminer la limite de $u_n$ ) lorsque n tend vers +∞.**

Si vous pouviez m'aider, du mois pour la 3)a, peut-être que cela pourrait me débloquer pour la suite..

Merci pour le moindre petit coup de pouce. Bonne soirée a tous.

Bonsoir,

Piste pour le 3)a)

$vn+1=un+1−1un+1+2=21+un−121+un+2v_{n+1}=\frac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+2}=\frac{\frac{2}{1+u_n}-1}{\frac{2}{1+u_n}+2}$

Tu réduis le numérateur et le dénominateur au même dénominateur $1+U_n$ )

Après transformations , tu dois trouver :

$vn+1=1−un4+2unv_{n+1}=\frac{1-u_n}{4+2u_n}$

Tu transformes pour faire apparaître $V_n$

$vn+1=12(1−un2+un)=12(....)v_{n+1}=\frac{1}{2}(\frac{1-u_n}{2+u_n})=\frac{1}{2}(....)$

Bonjour,

Merci pour votre aide , donc je trouve

3)a. Vn+1= 1/2Vn

3)b. Vn= V0q^n
Vn= 2/5(1/2)^n

Est il possible de simplifié ?

3)c Avec le résultat que j'ai pas simplifié je trouve lim Vn = 0

4)a Un= -1-2Vn/Vn-1

4)b Et la je bloque parce que je me doute qu'il remplacer Vn par ce qu'on trouve a la réponse 3)b mais vu que je sais pas si il y a une simplification la je trouve ça compliqué ...

4)c Des que la 4)B est réussi je pense pouvoir réussir celle ci

Voila pour la 4)b je trouve : Un = (-1-4/52(1/2)^n)/(2/5(1/2)^n-1)

Oui pour 3)a) et 3)b) Simplifier ne servirait à rien.

Pour Un , ton écriture n'est pas très simple à lire .

J'ai l'impression qu'il y a un "2" de trop au numérateur . Peut-être une faute de frappe . Vérifie .

Ca doit être :

$un=−1−45(12)n25(12)n−1u_n=\frac{-1-\frac{4}{5}(\frac{1}{2})^n}{\frac{2}{5}(\frac{1}{2})^n-1}$

Pour trouver la limite , cette expression est très bien !

Oui mais pourtant -1-2(2/5*(1/2)*n) donc on multiplie par 2, 2/5 et (1/2)*n
non? ...

Pour la limite je trouve 1...

Oui ! C'est bien 1 .

Pour le "2" de trop , tu confonds avec la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition

a(b+c)=ab+ac

MAIS ICI , il n'y a que des multiplications ( il s'agit de la propriété "d'assiociativité" de la multiplication. )

Je te mets un exemple simple pour comprendre

$2×3×4=(2×3)×4=6×4=242\times 3 \times 4=(2\times 3)\times 4= 6\times 4=24$

Tu peux dire aussi :

$2×3×4=2×(3×4)=2×12=242\times 3 \times 4=2\times( 3\times 4)= 2\times 12=24$