Les suites arithmetiques.

Bonsoir, je suis en 1èreS et j'ai eu cet exercice mais je n'y arrive pas du tout
Serait-il possible que quelqu'un m'aide, s'il vous plait ? Merci!

Soit $U_n$ ) la suite définie par :
$U_0$ =6
$U_{n+1}$ = $4U_n$ -1) / $U_n$ +2) , pour n ∈ à N

1/
a) Déterminer la fonction f telle que $U_{n+1}$ = $f(U_n$ )
b) Montrer que l’équation f(x)=x a pour solution "alpha".
2/
a) Déterminer les réels a et b tels que pour tout x de ]-2 ; +∞[, f(x)= a+ (b/(x+2))
b) Étudier les variations de la fonction f sur ]-2 ; +∞[
c) Tracer soigneusement dans un repère orthogonal la représentation graphique « en chemin » de la suite $U_n$ ) pour n variant de 0 à 6. Conjecturer le sens de variation de $U_n$ )
3/ On pose $V_n$ = 1 / $U_n$ -1)
a) Montrer que la suite $V_n$ ) est arithmétique de raison 1/3
b) Donner une expression de $V_n$ en fonction de n, et en déduire un expression de Un en fonction de n
c) Démontrer la conjecture de 2/ c)
4/
a) Écrire un algorithme affichant le rang du premier terme de la suite à partir duquel 0,99 ≤ $U_n$ ≤ 1,01
b) Programmer cet algorithme sur la calculatrice, ou sur AlgoBox, et conjecturer la limite de $U_n$ )

Bonjour,

Pour démarrer,

tu remplaces $U_n$ par x et $U_{n+1}$ par f(x)

$f(x)=4x−1x+2f(x)=\frac{4x-1}{x+2}$

Les questions a et b du 1 j'ai bien fait ça oui

Quelle est donc ta question ?

Et bien pour commencer, qu'est-ce-qu'ils entendent par "Déterminer les réels a et b tels que pour tout x de ]-2 ; +∞[, f(x)= a+ (b/(x+2))"

$a+bx+2=a(x+2)+bx+2=ax+(2a+b)x+2a+\frac{b}{x+2}=\frac{a(x+2)+b}{x+2}=\frac{ax+(2a+b)}{x+2}$

Tu procèdes par IDENTIFICATION ( tu as dû voir cela en cours )

Pour tout x ( différent de -2) :

$\left{a=4\2a+b=-1\right$

Tu termines pour trouver b

ça ne me dit rien du tout, peut-être que je l'ai vu mais sous un autre nom. Je vais regarder ça et je vais essayer de le faire
Merci !

Pour la Q3a, je sais que pour montrer si elle est arithmétique, il faut faire $U_{n+1}$ - $U_n$ mais je ne comprends parce que j'ai du $V_n$ et du $U_n$ ...

$vn+1=1un+1−1=14un−1un+2−1v_{n+1}=\frac{1}{u{n+1}-1}=\frac{1}{\frac{4u_n-1}{u_n+2}-1}$

Tu tranformes.

Tu dois trouver :

$vn+1=un+23un−3=13(un+2un−1)v_{n+1}=\frac{u_n+2}{3u_n-3}=\frac{1}{3}(\frac{u_n+2}{u_n-1})$

Donc :

$vn+1−vn=13(un+2un−1)−1un−1v_{n+1}-v_n=\frac{1}{3}(\frac{u_n+2}{u_n-1})-\frac{1}{u_n-1}$

Tu transformes , tu simplifies

Sans erreur , après calcul , tu dois trouver :

$vn+1−vn=13v_{n+1}-v_n=\frac{1}{3}$

J'ai trouvé, pas exactement comme ça, mais j'ai trouvé
Pour la 3b) j'ai écrit:
$V$ _n $V_0$ +nr , vous pensez que c'est correct ?
Pour $U_n$ en fonction de n, je sèche par contre.

Oui . Tu remplaces V0 et r par leurs valeurs .

Tu sais que $vn=1un−1v_n=\frac{1}{u_n-1}$

Donc : $1vn=un−1\frac{1}{v_n}=u_n-1$

Tu isoles Un ( en fonction de Vn)

Dans l'expression trouvée , tu remplaces Vn par V0+nr .

$V$ _n $V_0$ +nr
$V_0$ = 1/ $U_0$ -1) = 1/5
Donc $V_n$ = 1/5 + 1/3n

Après pour $U_n$ on a
$V_n$ = 1 / $U_n$ -1)
$1/V_n$ = $U_n$ -1
$U_n$ =-1 $1/V_n$
$U_n$ = -1 -1/ (1/5+1/3n)

C'est bizarre non?

Oui c'est bizarre?
J'ai modifié un peu les calculs, j'avais des erreurs.

Fais attention aux signes.

$un=1vn+1u_n=\frac{1}{v_n}+1$

Merci oui, je n'avais pas vu.
Pour la 4c, pour démontrer la conjecture du 2c, j'avais trouvé décroissant mais comment je peux le prouver?

Tu connais l'expression de $U_n$ en fonction de n .
Tu explicites $U_{n+1}$

Tu calcules $U$ _{n+1} $U_n$ et détermines son signe