Déterminer les primitives d'une fonction rationnelle

Bonjour, j'ai un exercice à faire mais le probléme est que je n'arrive pas la première question pour continuer la suite:

Voilà l'énoncé:

f et g deux fonctions définies sur I=R-{1} par:

f(x)=(x²-2x)/(x-1)² g(x)= 2/(x-1)³

Montrer que f est une primitive de g sur I.
En déduire le tableau de variation de f sur I.
Résoudre l'équation f(x)=0
Déterminer les constantes a et b telles que pour tout x de I, on ait :
f(x)= a+ (b/(x-1)²
F est la fonction définie sur I telle que :
(a) F est une primitive de f sur I;
(b) les extrema locaux de F prennent des valeurs opposées .
Déterminer F ( on utilisera les questions précédentes).

Ce que j'ai fait:
Pour la première question j'ai essayé de dérivée f mais je ne trouve pas que c'est égal à g.
Et j'ai essayé de faire la primitive de f mais je ne réussi pas....

Quelqu'un peut m'aider à commencer.... merci d'avance.

Quelqu'un peut m'aider SVP...??? :frowning2:

Bonjour,

C'est bien la dérivée qu'il faut calculer.
Indique tes calculs.

Voilà ce que j'ai fais:

f(x)= (x²-2x)/(x-1)²
f(x)=u/v avec u=x²-2x donc u'= 2x-2
v=x-1 donc v'= 1
f'(x)= (u'v-uv')/(v²)
donc f'(x)=[ (2x-2)(x-1)-(x²-2x)(1)]/(x-1)²
= [ 2x²-2x-2x-2-x²+2x]/(x-1)²
= (x²-2x-2)/(x-1)²

V = (x - 1)²

v= (x-1)² donc v= x²-2x+1 alors v'= 2x-2

f'(x)= [ ( 2x-2)(x²-2x+1)-(2x-2)(x²-2x)]/[(x²-2x+1)²]
= [(2x³-4x²+2x-2x²-4x-2)-(2x²-4x²-2x²+2x)] / (x²-2x+1)²
= (2x³-2x²-4x-2) / (x²-2²x+1)²

et après je ne réussi pas à continuer...

Vérifie ton calcul, le dénominateur est à la puissance 4.
Simplifie le numérateur.

donc je divise par 2x³ par x puissance 4...???

Non,

Reprends le calcul, du numérateur,
Le dénominateur est égal à $x-1)^4$

je trouve : (x-4x-2)/(x-1)puissance 4

je vais reessayer

je trouve f'(x)= [ -2x³+10x²-2x+2]/( x-1)puissance4

j'ai refais une autre fois et je trouve f'(x)=2x-2/(x-1)puissance4

Je ne vois vraiment pas autre chose...

j'ai refais une autre fois et je trouve f'(x)=2x-2/(x-1)puissance4

Je ne vois vraiment pas autre chose...

C'est correct.

Mets 2 en facteur au numérateur et simplifie.

donc f'(x)= 2(x-1)/(x-1)³(x-1) donc f'(x)= 2/(x-1)³ donc f'(x)= g(x)

C'est juste.

x-1>0 si x>1
x-1<0 si x<1

donc: x -∞ 1 +∞
f'=g - 0 +
f -∞ +∞
f(1)=0

c'est juste?

f(1) n'est pas égal à 0.

Calcule les limites à droite et à gauche de 0.

je trouve f(1)= 0 quand je remplace x par 1 dans f(x)= (x²-2x)/(x-1)²

-1/0=...... ?

c'est 0......!!!

Non !!

On peut dire que c'est égal à 0 par exemple si on a 0 au numérateur avec un dénominateur non nul (0/2=0)

Dans notre cas le numérateur est négatif et le dénominateur peut être un 0+ ou un 0-, selon la manière dont on se rapproche de 0 : par la droite ou par la gauche ....

Revois ton cours sur les limites et les formes indéterminées.

Calcule :

$lim⁡x→0+−1x\lim_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{-1}{x}$

puis :

$lim⁡x→0−−1x\lim_{x\rightarrow 0^{-}} \frac{-1}{x}$

donc il faut faire la limite de f(x) lorsque x tend vers 1...???

Oui.

Calcule la limite en 1.

donc vers 1+ et vers 1-

Oui c'est bien ça !

f(x)=(x²-2x)/(x-1)²

Ici le dénominateur est un carré.

Le signe d'un carré est toujours ....

le signe d'un carré est toujours positif....

le signe de f(x) lorsque x tend vers 1+ = 0+
le signe de f(x) lorsque x tend vers 0- = 0-

Donc pour le tableau de variation je remplace juste ....????

C'est la limite que tu cherches.

comment je met la limite sur le tableau...?? le professeur ne nous a jamais montré ça...il nous a toujours dit de faire comme je l'ai fait avant.

donc x est une valeur interdite et sur le tableau de variation je met une double barre....???

Reprenons un peu. Tu cherches la limite de f quand x tend vers 1 car 1 annule le dénominateur de f.
Sinon il suffirait de calculer f(1) et c'est terminé.

Cette indétermination nous oblige à calculer $lim⁡x→1f(x)\lim_{x \rightarrow 1}f(x)$

grâce au signe positif du carré du dénominateur, la limite est de la forme : $−10+\frac{-1}{0^{+}}$
$−10+=−∞\frac{-1}{0^{+}}=-\infty$

je comprend mais je ne vois pas comment faire le tableau ....

Il faut calculer :
$lim⁡x→+∞f(x)\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)$
et
$lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)$

Utiliser ensuite le fait que g=f' pour étudier le signe de f' :

zéros de f' : résoudre l'équation f'(x)=0
pour quelles valeurs de x, f'(x)>=0
pour quelles valeurs de x, f'(x)<=0

Il faut savoir que quand f'>0, f est croissante, et quand f'<0, f est décroissante.

Regarde dans ton cours comment dresser un tableau de variation à partir de ces éléments là. Ce n'est pas compliqué.

merci beaucoup salam, je ferai le tableau et je le posterai..

et peux-tu m'aider pour la suite...???

lim f(x) lorsque x tend vers +∞= 1
lim f(x) lorsque x tend vers -∞ = -1