3. Sujet : Maths 2nd - Fonction carré - Problèmes du 2dn degré

Sujet : Maths 2nd - Fonction carré - Problèmes du 2dn degré

  • G

    Bonjour, j'ai fait mon DM de maths, j'y ai mis du temps mais je ne suis pas sûre que ce soit juste, j'ai besoin d'aide, s'il vous plait. 😕
    Merci d'avance.

    Enoncé :

    Exercice 1 :
    La lettre x désigne un nombre réel.
    L'énoncé : " si x (est plus grand ou égale) 2, alors x2(est plus grand ou égale)4 est appelé une implication.
    Il signifie que la proposition " x (est plus grand ou égale) 2 " a pour conséquence la proposition " (est plus grand ou égale)x24 ".
    On dit aussi " x (est plus grand ou égale) 2 " implique " x 2(est plus grand ou égale)4" ou bien " x (est plus grand ou égale) 2 " donc " x2(est plus grand ou égale)4"
    On note "x (est plus grand ou égale)2 " ==>"x2(est plus grand ou égale)4".
    Une implication peut être vraie ou fausse.

    1. L'implication proposée est-elle vraie ? Justifiez
    2. Parmi les implications suivantes, indiquez celles qui sont vraies et celles qui sont fausses.
      a) " x < -1 " ==> " x2> 1 "
      b) " x2= 4" ==> " x = 2 "
      c) "x < 0 " ==>"x2< 0 "
      d) " x < V3 " ==> " x2< 3 "
      e) " x2= 2 " ==>" x = -V2 ou x = V2 "
    3. Traduisez par une implication les propositions suivantes.
      a) Un nombre compris entre 0 et 1 est supérieur à son carré.
      b) Si le nombre x est tel que -1 (est inférieur ou égale) x (est inférieur ou égale) 1, alors 1 - x2 est positif.
      c) Un nombre supérieur à 1 a un carré supérieur à 1.
    1. On considère pour tout réel x, A(x) = (3x-2)² – (4x-3)²
      a)Factoriser A(x)
      b) Résoudre l'inéquation A(x) <0

    Mes réponses :
    Exercice 1 :

    1. L'implication proposée est vraie.
      Si x = 1,5 alors x² = 2,25>4

    2.a. VRAIE car Si x = 4 alors x² = 16>1
    2.b. FAUX. Si x = -2 alors x²=4 mais -2 n'est pas égale à 2
    2.c. FAUX. Si x =-1, alors x<0 mais que x²=1 n'est pas négatif
    2.d. FAUX. Si x = -10 alors -10 < V3 mais x²=100 n'est pas égale à 3.
    2.e Si x = -V2 ou x=V2 alors x²=2

    3.a. Si 0<x<1 alors x > x2
    3.b. Si -1 < ou = à x 1 alors 1 - x2 > 0
    3.c. Si x > 1 alors alors x² > 1.

    4

    a)A(x) = (3x-2)²-(4x-3)²
    = [(3x-2)-(4x-3)][(3x-2)+(4x-3)]
    =(3x-2 – 4x + 3)(3x-2+4x-3)
    = (-x+1)(7x-5)

    b)
    On résout l'inéquation (-x+3)(7x-5) <0

    -x+1 = 0 <=> -x = -1 7x-5 = 0 <=> 7x=5
    x=1 x= 5/7

    Tableau 5/7 1
    (-x+3) + + -
    (7x -5) - + +
    produit - + -

    (-x + 1 )(7x-5) < 0 <=> x = 5/7 ou x = 1

    S = ]-infini ; 5/7]u[1 ; + infini[

    I 1 réponse
  • I

    Bonjour ghirlandaio

    Pour affirmer qu’une implication est vraie, il faut la démontrer, un exemple ne suffit pas.
    Pour montrer qu’une implication est fausse, alors un contre exemple suffit

    On note "x (est plus grand ou égale)2 " ==>"x2(est plus grand ou égale)4".

    1. L'implication proposée est-elle vraie ? Justifiez
      L'implication proposée est vraie.
      Si x = 1,5 alors x² = 2,25>4

    REP : ton exemple ne suffit pas. il faut la démontrer en utilisant le comportement de la fonction carré.

    x≥2 donc x²≥2² car la fonction carré est croissante sur [2;+∞[, elle conserve l'ordre
    soit x²≥4

    1. Parmi les implications suivantes, indiquez celles qui sont vraies et celles qui sont fausses.
      a) " x < -1 " ==> " x2> 1 "
      VRAIE car Si x = 4 alors x² = 16>1

    REP : elle est vraie mais il faut la démontrer :
    x<-1 ⇒x²>(-1)² ⇒ x²>1 car la fonction carré est décroissante sur ]-∞;-1[, elle renverse l'ordre

    b) " x2= 4" ==> " x = 2 "
    FAUX. Si x = -2 alors x²=4 mais -2 n'est pas égale à 2

    REP : C'est correct, avec ce contre exemple, tu prouves que l'implication est fausse

    c) "x < 0 " ==>"x2 < 0 "
    FAUX. Si x =-1, alors x < 0 mais que x²=1 n'est pas négatif

    REP : C'est correct, avec ce contre exemple

    d) " x < V3 " ==> " x2< 3 "
    FAUX. Si x = -10 alors -10 < V3 mais x²=100
    n'est pas égaleà 3.

    REP : correct avec ce contre ex (je suppose que c'est une faute de frappe)
    si x=-10 alors x<√3 mais x²=100 >3 l'implication est donc fausse

    e) " x2= 2 " ==>" x = -V2 ou x = V2 "
    Si x = -V2 ou x=V2 alors x²=2

    REP : ce que tu écris est correct mais ne prouve pas que l'implication est vraie (je sais ce n'est pas facile à comprendre)
    Il vaut mieux ici résoudre l'équation

    x²=2 ⇔ x²-2=0 ⇔ x²-(√2)²=0 ⇔ (x+√2)(x-√2)=0 en utilisant l'identité remarquable a²-b²=(a+b)(a-b)
    or un produit de facteur est nul ssi ... d'où
    (x+√2)=0 ou (x-√2)=0
    soit x=-√2 ou x=√2 l'implication est vraie

    1. Traduisez par une implication les propositions suivantes.
      a) Un nombre compris entre 0 et 1 est supérieur à son carré.
      Si 0<x<1 alors x > x²

    REP : ok

    b) Si le nombre x est tel que -1 (est inférieur ou égale) x (est inférieur ou égale) 1, alors 1 - x2 est positif.
    Si -1 < ou = à x 1 alors 1 - x2 > 0

    REP : -1≤x≤1 ⇒ 1-x²>0 je suppose que c'est ce que tu voulais écrire

    c) Un nombre supérieur à 1 a un carré supérieur à 1.
    Si x > 1 alors x² > 1

    REP : ok

    1. On considère pour tout réel x, A(x) = (3x-2)² – (4x-3)²
      a)Factoriser A(x)
      A(x) = (3x-2)²-(4x-3)²
      = [(3x-2)-(4x-3)][(3x-2)+(4x-3)]
      =(3x-2 – 4x + 3)(3x-2+4x-3)
      = (-x+1)(7x-5)

    REP : ok

    b) Résoudre l'inéquation A(x) <0
    On résout l'inéquation (-x+3)(7x-5) <0

    -x+1 = 0 <=> -x = -1 7x-5 = 0 <=> 7x=5
    x=1 x= 5/7

    Tableau 5/7 1
    (-x+3) + + -
    (7x -5) - + +
    produit - + -

    REP : Jusque là c'est correct

    (-x + 1 )(7x-5) < 0 <=> x = 5/7 ou x = 1

    S = ]-infini ; 5/7]u[1 ; + infini[.

    REP : partie mise en rouge incorrecte

    " (-x + 1 )(7x-5) < 0 <=> x = 5/7 ou x = 1 " est faux et inutile

    De plus, l'inégalité est stricte, c'est un "<", il faut exclure les bornes qui annulent A(x), soit :

    S = ]-∞;5/7[ ∪ ]1;+∞[

    C'est un exo difficile, tu t'en es pas mal tirée.

    bonne soirée

Se connecter pour répondre