Fonction Logarithme

Bonsoir!!
Alors voilà je panne depuis pas mal de temps sur cette exercice, je dois l'avoir fait pout vendredi, et je sollicite votre petit coup de main s'il vous plait

Partie A (j'ai réussi ça)
soit f la fonction définie sur ]0;+∞[ par f(x)= (xln(x))/(x+1)
(en gros dans cette partie il s'agit de démontrer que f'(x)=phi(x)/(x+1)^2
avec phi(x) = lnx+x+1
lim f(x)=0
x->0
lim f(x)=+∞
x->+∞
f décroissante jusqu'à Bêta (≈0,28) puis croissante.

Partie B (là où je panne)
On se propose d'étudier l'équation f(x)=n où n est 1 entier naturel non nul :
1- Montrer que pour tout n, cette équation admet une solution L(n) (L=alpha) et 1 seule (en particulier L(1)=L).

2- Comparaison de L(n) et exp(n)
a-établir que f(exp(n))≤ n. en déduire que L(1)≥exp(n).
b-Prouver que cette relation f(L(1))=n peut s'écrire :
ln((L(1))/exp(n))=n/L(n) {1}
en déduire, à l'aide de a, la limite de L(1)/exp(n) lorsque n->∞

3- Comparaison de L(1) à (exp(n)=n) :
On écrit L(n) sous la forme :
L(n)=exp(1+∑(n)) {2} où ∑(n) ≥0
a-A l'aide de {1}, exprimer (1+∑(n))ln(1+∑(n)) en fonction de n.
b- Etablir de a et b que pour tout n ≥1

∑(n)≤nexp(-n)≤∑(n)+(∑^2(n))/2

Puis : 0≤ nexp(-n)-∑(n) ≤ (n^2/2)exp(-2n) {3}
d- A l'aide de {2} et {3}, déterminer la limite de exp(n)+n-L(n) lorsque n⇒+∞

Voilà. Désolée c'est long, mais j'ai vraiment besoin d'aide, merci!!!

Bonjour,

Je regarde le début de la partie B ; je ne comprends pas trop ce que tu as écrit...

Citation
L(n) (L=alpha) et 1 seule ; L(1)=L? ? ?

Ce serait bien de clarifier en donnant l'énoncé exact.

D'après les variations de f de la partie A , si tu restreins la fonction à [1,+∞[ , tu as une fonction continue et strictement croissante de [1,+∞[ vers [0,+∞[

Tu peux donc utiliser le théorème des valeurs intermédiaires ( cas de la bijection ) :

Pour tout naturel n ( n ≥ 1) , il existe une seule valeur α $_n$ solution de f(x)=n , ce qui veut dire f(α $_n$ ) = n

Pour n=1 , α $_1$ ≈3.6

Que veux tu dire par L(1)=L ? ? ?

J'ai recopié à la lettre mon livre mais j'avoue ne pas trop comprendre non plus cette question...
Entre parenthèses il y a écrit

"en particulier alpha(1) = alpha"

C'est surement une manière de nous mettre sur la voie avec n=1 comme tu m'as dit.
Comment tu as trouvé 3,6 stp? j'ai jamais réussi à venir à bout de cette equation...

Tu utilises ta calculette ( tu n'as pas à résoudre l'équation algébriquement )

f(3.5)=0.91627...
f(3.6)=1.0025...

Donc 3.5 < α $_1$ < 3.6

Pour ton énoncé , certaines notations que tu utilises sont incompréhensibles...

En dessous du cadre REPONSE , tu as des outils à ta disposition : indices , exposants, lettres grecques , alors , donne des formules "lisibles" si tu as besoin d'aide.

J'essaie de regarder la question 2)a)

Pour $f(e^n$ ) , il te suffit de remplacer x par $e^n$ dans f(x)

Comme tu sais que $ln(e^n$ )=n , tu dois trouver :

$f(en)=nenen+1f(e^n)=\frac{ne^n}{e^n+1}$

Conséquence :

$enen+1≤1\frac{e^n}{e^n+1} \le 1$ ( car dénominateur supérieur au numérateur)

Donc : $nenen+1≤n\frac{ne^n}{e^n+1} \le n$

$\fbox{f(e^n]\le n}$

2)b) Ton écriture f(L1)=n est vraiment très bizarre ! ! ! et n'a pas des sens.

C'est f(α $_n$ ) qui vaut n ............