Fonction Logarithme


  • B

    Bonsoir!!
    Alors voilà je panne depuis pas mal de temps sur cette exercice, je dois l'avoir fait pout vendredi, et je sollicite votre petit coup de main s'il vous plait 🙂

    Partie A (j'ai réussi ça)
    soit f la fonction définie sur ]0;+∞[ par f(x)= (xln(x))/(x+1)
    (en gros dans cette partie il s'agit de démontrer que f'(x)=phi(x)/(x+1)^2
    avec phi(x) = lnx+x+1
    lim f(x)=0
    x->0
    lim f(x)=+∞
    x->+∞
    f décroissante jusqu'à Bêta (≈0,28) puis croissante.

    Partie B (là où je panne)
    On se propose d'étudier l'équation f(x)=n où n est 1 entier naturel non nul :
    1- Montrer que pour tout n, cette équation admet une solution L(n) (L=alpha) et 1 seule (en particulier L(1)=L).

    2- Comparaison de L(n) et exp(n)
    a-établir que f(exp(n))≤ n. en déduire que L(1)≥exp(n).
    b-Prouver que cette relation f(L(1))=n peut s'écrire :
    ln((L(1))/exp(n))=n/L(n) {1}
    en déduire, à l'aide de a, la limite de L(1)/exp(n) lorsque n->∞

    3- Comparaison de L(1) à (exp(n)=n) :
    On écrit L(n) sous la forme :
    L(n)=exp(1+∑(n)) {2} où ∑(n) ≥0
    a-A l'aide de {1}, exprimer (1+∑(n))ln(1+∑(n)) en fonction de n.
    b- Etablir de a et b que pour tout n ≥1

    ∑(n)≤nexp(-n)≤∑(n)+(∑^2(n))/2

    Puis : 0≤ nexp(-n)-∑(n) ≤ (n^2/2)exp(-2n) {3}
    d- A l'aide de {2} et {3}, déterminer la limite de exp(n)+n-L(n) lorsque n⇒+∞

    Voilà. Désolée c'est long, mais j'ai vraiment besoin d'aide, merci!!! 😄


  • mtschoon

    Bonjour,

    Je regarde le début de la partie B ; je ne comprends pas trop ce que tu as écrit...

    Citation
    L(n) (L=alpha) et 1 seule ; L(1)=L? ? ?

    Ce serait bien de clarifier en donnant l'énoncé exact.

    D'après les variations de f de la partie A , si tu restreins la fonction à [1,+∞[ , tu as une fonction continue et strictement croissante de [1,+∞[ vers [0,+∞[

    Tu peux donc utiliser le théorème des valeurs intermédiaires ( cas de la bijection ) :

    Pour tout naturel n ( n ≥ 1) , il existe une seule valeur αn_nn solution de f(x)=n , ce qui veut dire f(αn_nn) = n

    Pour n=1 , α1_11≈3.6

    Que veux tu dire par L(1)=L ? ? ?


  • B

    J'ai recopié à la lettre mon livre mais j'avoue ne pas trop comprendre non plus cette question...
    Entre parenthèses il y a écrit

    "en particulier alpha(1) = alpha"

    C'est surement une manière de nous mettre sur la voie avec n=1 comme tu m'as dit.
    Comment tu as trouvé 3,6 stp? j'ai jamais réussi à venir à bout de cette equation... 😲


  • mtschoon

    Tu utilises ta calculette ( tu n'as pas à résoudre l'équation algébriquement )

    f(3.5)=0.91627...
    f(3.6)=1.0025...

    Donc 3.5 < α1_11 < 3.6

    Pour ton énoncé , certaines notations que tu utilises sont incompréhensibles...

    En dessous du cadre REPONSE , tu as des outils à ta disposition : indices , exposants, lettres grecques , alors , donne des formules "lisibles" si tu as besoin d'aide.


  • mtschoon

    J'essaie de regarder la question 2)a)

    Pour f(enf(e^nf(en) , il te suffit de remplacer x par ene^nen dans f(x)

    Comme tu sais que ln(enln(e^nln(en)=n , tu dois trouver :

    f(en)=nenen+1f(e^n)=\frac{ne^n}{e^n+1}f(en)=en+1nen

    Conséquence :

    enen+1≤1\frac{e^n}{e^n+1} \le 1en+1en1 ( car dénominateur supérieur au numérateur)

    Donc : nenen+1≤n\frac{ne^n}{e^n+1} \le nen+1nenn

    $\fbox{f(e^n]\le n}$

    2)b) Ton écriture f(L1)=n est vraiment très bizarre ! ! ! et n'a pas des sens.

    C'est f(αn_nn) qui vaut n ............


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