Résolution d'un problème de géométrie dans le plan complexe


  • M

    Bonjour, pouvez-vous me donner des pistes pour faire cet exercice s'il vous plaît.

    Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal (O,u,v)
    On désigne par A,B, et C les points d'affixes respectives a=-1+2i, b=1+3i, c=4i
    1)a) Démontrer que ABC est un triangle isocèle en A
    b) calculer la mesure approchée au centième près par défaut de la mesure principale en radians de l'angle (AB,AC)
    2) on appelle I le milier de [BC] et zIz_IzI son affixe
    a) quel est l'ensemble des points M dont l'affixe z vérifie : (z−zI(z-z_I(zzI)/ (z-a) est un nombre réel ?
    b) déterminer le nombre réel x vérifiant : (x- zIz_IzI)/(x-a) est un nombre réel.
    c) quelle est la forme trigonométrique du nombre complexe affixe du vexteur AI ?

    1. On note Ω le point d'affixe -3
      a) démontrer que Ω,A, I sont alignés
      b)démontrer qu'il existe deux rotations de centre Ω telles que les images de A et I soient sur la droite des réels. Préciser les angles de ces rotations.
      c) soit r1r_1r1 la rotation de centre Ω et de mesure -π/4 . quelle est l'écriture complexe de r1r_1r1 ?
      d) déterminer l'équation complexe du cercle de diamètre [BC] et de son image par la rotation r1r_1r1

    2. Soit A', B', C' les images respectives des points A,B,C par r1r_1r1
      soit a', b', c' leurs affixes respectives
      determiner l'image par la rotation r1r_1r1 de l'axe de symétrie du triangle ABC
      En déduite l'égalité b'=c' (barre)

    Merci, cordialement.


  • mtschoon

    Bonjour,

    Pistes pour démarrer,

    1)a)

    ab=∣zb−za∣ab=|z_b-z_a|ab=zbza

    ac=∣zc−za∣ac=|z_c-z_a|ac=zcza

    Tu calcules

    1)b)

    (ab⃗,ac⃗)=arg(zc−zazb−za)(\vec{ab},\vec{ac})=arg(\frac{z_c-z_a}{z_b-z_a})(ab,ac)=arg(zbzazcza)

    Tu calcules.

    Tiens nous au courant sur ce que tu as trouvé


  • M

    Merci pour votre réponse.
    Pour la 1)a) je trouve AB=| 2+ i | et AC= | 2i + 1 |. N'aurais-je pas plutôt dû trouver deux résultats identiques ?
    Pour la 1b) je trouve (AB,AC)= arg [(1+2i)/(2+i)]


  • mtschoon

    C'est tout à fait ça

    Il faut que tu calcules |1+i| et |1+2i| et tu trouveras pareil (√5)

    De même , pour la suite , il faut que tu mettes (1+2i)/(2+i) sous forme algébrique , pour pouvoir trouver l'argument θ avec les formules cosθ=a/r st sinθ=b/r ( en appelant r le module )


  • M

    D'accord, je trouve bien √5. Par contre après je suis un peu perdue... Je trouve arg (√5/√5) = arg (1) . Je ne vois pas à quoi correspond 1... Est-ce que 1 =θ ou 1= r ?


  • mtschoon

    Non...

    Relis ma précédente réponse et ton cours.

    1+2i2+i=(1+2i)(2−i)(2+i)(2−i)=.....\frac{1+2i}{2+i}=\frac{(1+2i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=.....2+i1+2i=(2+i)(2i)(1+2i)(2i)=.....


  • M

    Je trouve que z= -3i+4/4 , r= 5/4 , cosθ = 4/5, sin θ= -3/5 donc θ est environ égale à -∏/6


  • mtschoon

    Non...recompte.

    Tu dois trouver , après calculs :

    (1+2i)(2−i)(2+i)(2−i)=4+3i5=45+35i\frac{(1+2i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\frac{4+3i}{5}=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i(2+i)(2i)(1+2i)(2i)=54+3i=54+53i


  • M

    Je finis donc par trouver que θ est légèrement inférieur à ∏/4


  • mtschoon

    On te demande la mesure approchée au centième près par défaut de θ .

    Explique comment tu as fait pour trouver "légèrement inférieur à ∏/4"


  • M

    Pour trouver l'angle j'ai fait : z= (3i + 4)/5 donc r= 1 et cos θ= 4/5 , sin θ= 3/5
    j'ai placé 3/5 sur l'axe des ordonnées et 4/5 sur celui des abscisses et je trouve un angle légèrement inférieur à ∏/4. Je ne vois pas d'autre solution pour donner sa valeur au centième près or mis celle de mesurer avec un rapporteur puis de convertir en radian..


  • mtschoon

    Ton idée est bonne : c'est bien cos θ= 4/5 , sin θ= 3/5 , mais pour avoir la précision demandée , il faut prendre ta calculette.

    Mais , tout dépend de ce que sait faire ta calculette...

    Tu dois avoir la fonction cos−1cos^{-1}cos1 qui te donne une mesure d'angle ( comprise entre 0 et ∏ ) dont on connait de cosinus
    Tu dois avoir la fonction sin−1sin^{-1}sin1 qui te donne une mesure d'angle ( comprise entre -∏/2 et ∏/2 ) dont on connait de sinus

    ( Vérifie que ta calculette travaille en radians )


  • M

    Pour les deux je trouve une valeur identique d'environ 0,643


  • mtschoon

    C'est bon .

    On te demande une réponse au centième près par défaut , donc tu réponds : .....


  • M

    0,64


  • mtschoon

    OUI.


  • M

    Pouvez-vous me donner une piste pour la 2a s'il vous plait ?


  • mtschoon

    Pour la 2)a) , tu peux utiliser la voie algébrique ou la voie géométrique ( en passant par les arguments )

    Le plus rapide est de passer par la voie géométrique

    Pour z ≠ a :

    z−ziz−areel⟷arg(z−ziz−a)=0[π]\frac{z-z_i}{z-a}reel \longleftrightarrow arg(\frac{z-z_i}{z-a})=0 [\pi]zazzireelarg(zazzi)=0[π]

    Tu traduis cela avec un angle ( comme au 1)b) ) et tu tires la conclusion.


  • M

    D'accord mais comment je peux faire comme au 1b étant donné que je connais seulement l'affixe de a ?


  • mtschoon

    z a pour image M
    a a pour image A
    zIz_IzI a pour image I

    Tu peux donc directement traduire avec un angle ( comma au 1b) en utilisant les points M , A et I.


  • M

    Si c'est un nombre réel, l'angle à un point situé en 0 sur l'axe des complexes, donc l'ensemble des points M se situe sur la droite des abscisses. Alors l'angle est de 0 ou ∏? Je pense avoir faux car je n'utilise pas vraiment la méthode du 1b ...


  • mtschoon

    Tu as du mal à maîtriser ton cours.

    RAPPEL ( mais j'ignore les notations de ton cours 😞

    arg(zb−zazc−za)=(ac⃗,ab⃗)arg(\frac{z_b-z_a}{z_c-z_a})=(\vec{ac},\vec{ab})arg(zczazbza)=(ac,ab)

    Applique tout simplement cette propriété.


  • M

    C'est l'angle (AM, IM) ?


  • mtschoon

    OUI !

    Tu as donc (am⃗,im⃗)=0[π](\vec{am},\vec{im})=0 [\pi](am,im)=0[π]

    Tu peux transformer , en prenant les vecteurs opposés ( ce qui ne change pas l'angle ) :

    (ma⃗,mi⃗)=0[π](\vec{ma},\vec{mi})=0 [\pi](ma,mi)=0[π]

    Réflechis , sans faire de calculs , où sont les points M


  • M

    Les points M se trouvent sur le segment AI ?


  • mtschoon

    Presque .

    Les points M se trouvent sur la droite (AI): vu que l'angle a pour mesure 0 [∏] c'est à dire 0+k∏ ( avec k entier ) , suivant la parité de k , M est entre A et I ou à l'extérieur du segment [AI]

    Exception : A est à supprimer pour que (z-a) ne soit pas nul.


  • M

    D'accord merci. Pour la 2b, je dois m'y prendre comment ?


  • mtschoon

    Il y a un enchaînement logique entre les questions.

    Utilise la réponse à la question précédente et le fait que x est réel.


  • M

    Je dois faire un calcul ou mon dessin est suffisant ?


  • mtschoon

    Commence par raisonner avec ton dessin (en utilisant la réponse à la question précédente et le fait que x est réel )


  • M

    J'ai remplacé x par 0 dans l'expression donnée. Ça donne - zi/- a donc zi/a et le résultat donne un nombre réel. Quand je fais le calcul je trouve 7/10


  • mtschoon

    Quel calcul fais-tu ?

    a=−1+2ia=-1+2ia=1+2i

    I est le milieu de [BC] :

    zi=zb+zc2=12+72iz_i=\frac{z_b+z_c}{2}=\frac{1}{2}+\frac{7}{2}izi=2zb+zc=21+27i

    zia=1310−910i\frac{z_i}{a}=\frac{13}{10}-\frac{9}{10}iazi=1013109i

    ça ne fait vraiment pas un nombre réel .

    Ta démarche n'est pas bonne . Il ne faut pas faire des essais au hasard.

    Il y a des enchaînements entre les questions.

    Utilise la réponse à la question précédente ( réponse du 2 a) et le fait que x est réel


  • M

    C'est le calcul que j'ai fait. J'ai du faire une erreur lorsque j'ai divisé les i par 5, et ça les a annulés.
    Est-ce que je peux utiliser l'angle (xA,xI) ? Et si x est réel il se situe sur l'axe des abscisses car son ordonnée (donc son imaginaire) est égale à 0 ?


  • mtschoon

    x étant un nombre ( et non un point ), je ne vois pas trop de quel angle tu parles.

    Je t'explique un peu.

    Soit K l'image du nombre réel x cherché

    Tu sais que la droite (AI) est l'ensemble des points tels que (z-zI)/ (z-a) est un nombre réel .
    x est un réel : c'est donc un complexe particulier , mais c'est un complexe.
    DoncK ∈ (AI)

    x est réel , donc K∈.................

    BilanK est le point d'intersection de (AI) avec ..................


  • M

    K ∈ au vecteur u et puisque K ∈ AI, K est le point d'intersection entre le vecteur v et (AI)


  • mtschoon

    "K ∈ au vecteur u" ? peut-être t'exprimes tu mal... K appartient à l'axe des réels. et à la droite (AI)


  • M

    Oui j'entends par le vecteur u l'axe des abscisses et par le vecteu v l'axe des ordonnées


  • mtschoon

    Donc , c'est bon : Le point d'abscisse x cherché est le point d'intersection de la droite (AI) avec l'axe des abscisses.

    Si tu cherches l'équation de la droite (AI) tu dois trouver : y=x+3

    Pour y=0 , x=-3 donc le point cherché a poit affixe -3 : c'est le point Ω de la question suivante .


  • M

    D'accord merci. Pour la formule trigonometrique demandée à la 2c je trouve
    z= 3 (Cos ∏)
    J'ai fait : z= -3
    | z | = √(−3)2(-3)^2(3)2 = 3
    cos θ= -3/3 = -1
    Sin θ = 0/-3 = 0
    C'est correct ?


  • mtschoon

    Non car l'affixe du vecteurai⃗\vec{ai}ai est fausse.

    Regarde les affixes de A et de I et fais zi−zaz_i-z_aziza


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