Résolution d'un problème de géométrie dans le plan complexe

Bonjour, pouvez-vous me donner des pistes pour faire cet exercice s'il vous plaît.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal (O,u,v)
On désigne par A,B, et C les points d'affixes respectives a=-1+2i, b=1+3i, c=4i
1)a) Démontrer que ABC est un triangle isocèle en A
b) calculer la mesure approchée au centième près par défaut de la mesure principale en radians de l'angle (AB,AC)
2) on appelle I le milier de [BC] et $z_I$ son affixe
a) quel est l'ensemble des points M dont l'affixe z vérifie : $z-z_I$ )/ (z-a) est un nombre réel ?
b) déterminer le nombre réel x vérifiant : (x- $z_I$ )/(x-a) est un nombre réel.
c) quelle est la forme trigonométrique du nombre complexe affixe du vexteur AI ?

On note Ω le point d'affixe -3
a) démontrer que Ω,A, I sont alignés
b)démontrer qu'il existe deux rotations de centre Ω telles que les images de A et I soient sur la droite des réels. Préciser les angles de ces rotations.
c) soit $r_1$ la rotation de centre Ω et de mesure -π/4 . quelle est l'écriture complexe de $r_1$ ?
d) déterminer l'équation complexe du cercle de diamètre [BC] et de son image par la rotation $r_1$
Soit A', B', C' les images respectives des points A,B,C par $r_1$
soit a', b', c' leurs affixes respectives
determiner l'image par la rotation $r_1$ de l'axe de symétrie du triangle ABC
En déduite l'égalité b'=c' (barre)

Merci, cordialement.

Bonjour,

Pistes pour démarrer,

1)a)

$ab=|z_b-z_a|$

$ac=|z_c-z_a|$

Tu calcules

1)b)

$(ab⃗,ac⃗)=arg(zc−zazb−za)(\vec{ab},\vec{ac})=arg(\frac{z_c-z_a}{z_b-z_a})$

Tu calcules.

Tiens nous au courant sur ce que tu as trouvé

Merci pour votre réponse.
Pour la 1)a) je trouve AB=| 2+ i | et AC= | 2i + 1 |. N'aurais-je pas plutôt dû trouver deux résultats identiques ?
Pour la 1b) je trouve (AB,AC)= arg [(1+2i)/(2+i)]

C'est tout à fait ça

Il faut que tu calcules |1+i| et |1+2i| et tu trouveras pareil (√5)

De même , pour la suite , il faut que tu mettes (1+2i)/(2+i) sous forme algébrique , pour pouvoir trouver l'argument θ avec les formules cosθ=a/r st sinθ=b/r ( en appelant r le module )

D'accord, je trouve bien √5. Par contre après je suis un peu perdue... Je trouve arg (√5/√5) = arg (1) . Je ne vois pas à quoi correspond 1... Est-ce que 1 =θ ou 1= r ?

Non...

Relis ma précédente réponse et ton cours.

$1+2i2+i=(1+2i)(2−i)(2+i)(2−i)=.....\frac{1+2i}{2+i}=\frac{(1+2i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=.....$

Je trouve que z= -3i+4/4 , r= 5/4 , cosθ = 4/5, sin θ= -3/5 donc θ est environ égale à -∏/6

Non...recompte.

Tu dois trouver , après calculs :

$(1+2i)(2−i)(2+i)(2−i)=4+3i5=45+35i\frac{(1+2i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}=\frac{4+3i}{5}=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i$

Je finis donc par trouver que θ est légèrement inférieur à ∏/4

On te demande la mesure approchée au centième près par défaut de θ .

Explique comment tu as fait pour trouver "légèrement inférieur à ∏/4"

Pour trouver l'angle j'ai fait : z= (3i + 4)/5 donc r= 1 et cos θ= 4/5 , sin θ= 3/5
j'ai placé 3/5 sur l'axe des ordonnées et 4/5 sur celui des abscisses et je trouve un angle légèrement inférieur à ∏/4. Je ne vois pas d'autre solution pour donner sa valeur au centième près or mis celle de mesurer avec un rapporteur puis de convertir en radian..

Ton idée est bonne : c'est bien cos θ= 4/5 , sin θ= 3/5 , mais pour avoir la précision demandée , il faut prendre ta calculette.

Mais , tout dépend de ce que sait faire ta calculette...

Tu dois avoir la fonction $cos^{-1}$ qui te donne une mesure d'angle ( comprise entre 0 et ∏ ) dont on connait de cosinus
Tu dois avoir la fonction $sin^{-1}$ qui te donne une mesure d'angle ( comprise entre -∏/2 et ∏/2 ) dont on connait de sinus

( Vérifie que ta calculette travaille en radians )

Pour les deux je trouve une valeur identique d'environ 0,643

C'est bon .

On te demande une réponse au centième près par défaut , donc tu réponds : .....

0,64

OUI.

Pouvez-vous me donner une piste pour la 2a s'il vous plait ?

Pour la 2)a) , tu peux utiliser la voie algébrique ou la voie géométrique ( en passant par les arguments )

Le plus rapide est de passer par la voie géométrique

Pour z ≠ a :

$z−ziz−areel⟷arg(z−ziz−a)=0[π]\frac{z-z_i}{z-a}reel \longleftrightarrow arg(\frac{z-z_i}{z-a})=0 [\pi]$

Tu traduis cela avec un angle ( comme au 1)b) ) et tu tires la conclusion.

D'accord mais comment je peux faire comme au 1b étant donné que je connais seulement l'affixe de a ?

z a pour image M
a a pour image A
$z_I$ a pour image I

Tu peux donc directement traduire avec un angle ( comma au 1b) en utilisant les points M , A et I.

Si c'est un nombre réel, l'angle à un point situé en 0 sur l'axe des complexes, donc l'ensemble des points M se situe sur la droite des abscisses. Alors l'angle est de 0 ou ∏? Je pense avoir faux car je n'utilise pas vraiment la méthode du 1b ...

Tu as du mal à maîtriser ton cours.

RAPPEL ( mais j'ignore les notations de ton cours

$arg(zb−zazc−za)=(ac⃗,ab⃗)arg(\frac{z_b-z_a}{z_c-z_a})=(\vec{ac},\vec{ab})$

Applique tout simplement cette propriété.

C'est l'angle (AM, IM) ?

OUI !

Tu as donc $(am⃗,im⃗)=0[π](\vec{am},\vec{im})=0 [\pi]$

Tu peux transformer , en prenant les vecteurs opposés ( ce qui ne change pas l'angle ) :

$(ma⃗,mi⃗)=0[π](\vec{ma},\vec{mi})=0 [\pi]$

Réflechis , sans faire de calculs , où sont les points M

Les points M se trouvent sur le segment AI ?

Presque .

Les points M se trouvent sur la droite (AI): vu que l'angle a pour mesure 0 [∏] c'est à dire 0+k∏ ( avec k entier ) , suivant la parité de k , M est entre A et I ou à l'extérieur du segment [AI]

Exception : A est à supprimer pour que (z-a) ne soit pas nul.

D'accord merci. Pour la 2b, je dois m'y prendre comment ?

Il y a un enchaînement logique entre les questions.

Utilise la réponse à la question précédente et le fait que x est réel.

Je dois faire un calcul ou mon dessin est suffisant ?

Commence par raisonner avec ton dessin (en utilisant la réponse à la question précédente et le fait que x est réel )

J'ai remplacé x par 0 dans l'expression donnée. Ça donne - zi/- a donc zi/a et le résultat donne un nombre réel. Quand je fais le calcul je trouve 7/10

Quel calcul fais-tu ?

$a = - 1 + 2 i$

I est le milieu de [BC] :

$zi=zb+zc2=12+72iz_i=\frac{z_b+z_c}{2}=\frac{1}{2}+\frac{7}{2}i$

$zia=1310−910i\frac{z_i}{a}=\frac{13}{10}-\frac{9}{10}i$

ça ne fait vraiment pas un nombre réel .

Ta démarche n'est pas bonne . Il ne faut pas faire des essais au hasard.

Il y a des enchaînements entre les questions.

Utilise la réponse à la question précédente ( réponse du 2 a) et le fait que x est réel

C'est le calcul que j'ai fait. J'ai du faire une erreur lorsque j'ai divisé les i par 5, et ça les a annulés.
Est-ce que je peux utiliser l'angle (xA,xI) ? Et si x est réel il se situe sur l'axe des abscisses car son ordonnée (donc son imaginaire) est égale à 0 ?

x étant un nombre ( et non un point ), je ne vois pas trop de quel angle tu parles.

Je t'explique un peu.

Soit K l'image du nombre réel x cherché

Tu sais que la droite (AI) est l'ensemble des points tels que (z-zI)/ (z-a) est un nombre réel .
x est un réel : c'est donc un complexe particulier , mais c'est un complexe.
DoncK ∈ (AI)

x est réel , donc K∈.................

BilanK est le point d'intersection de (AI) avec ..................

K ∈ au vecteur u et puisque K ∈ AI, K est le point d'intersection entre le vecteur v et (AI)

"K ∈ au vecteur u" ? peut-être t'exprimes tu mal... K appartient à l'axe des réels. et à la droite (AI)

Oui j'entends par le vecteur u l'axe des abscisses et par le vecteu v l'axe des ordonnées

Donc , c'est bon : Le point d'abscisse x cherché est le point d'intersection de la droite (AI) avec l'axe des abscisses.

Si tu cherches l'équation de la droite (AI) tu dois trouver : y=x+3

Pour y=0 , x=-3 donc le point cherché a poit affixe -3 : c'est le point Ω de la question suivante .

D'accord merci. Pour la formule trigonometrique demandée à la 2c je trouve
z= 3 (Cos ∏)
J'ai fait : z= -3
| z | = √ $3)^2$ = 3
cos θ= -3/3 = -1
Sin θ = 0/-3 = 0
C'est correct ?

Non car l'affixe du vecteur $ai⃗\vec{ai}$ est fausse.

Regarde les affixes de A et de I et fais $z_i-z_a$