Calcul de la hauteur et l'aire des faces d'une pyramide a base carrée

Bonjour, Je suis bloqué dans cette exercice.

Une pyramide SABCD a pour base un carré de 10 cm de côté. Les faces latérales sont des triangles équilatéraux.

Calculer la hauteur de SH de la pyramide
Calculer l'aire totale des faces de la pyramide
3.Si E est le milieu de [SC], montrer que la droite (SC) est perpendiculaire au plan (DEB)
Calculer l'aire du triangle DEB

J'ai fais le shéma suivant :

$fichier math$

Pour le 1 j'ai raisonner ainsi :

Sachant qu'un carré a ses diagonales de même longueurs, qui se coupent en leurs milieu et qui sont perpendiculaire.
Je me met dans le triangle ADC rectangle en D
Le théoreme de Pythagore donne :
CA² = AD² + CD²
CA² = 10² + 10²
CA² = 200
CA = √200 = 10√2 cm
Je sais que AH est la moitié de CA donc, 10√2 / 2 = 5√2 cm
Donc, AH = 5√2 cm
Dans le triangle AHS rectangle en H
Le théoreme de Pythagore donne :
AS² = AH² + SH²
SH² = AS² - AH²
Sachant que c'est un triangle équilatérale AS = AB = 10cm
Donc, SH² = 10² - (5√2)²
SH² = 100 - 50 = 50
SH = √50 = 5√2
Ce qui fait que la hauteur est égale à la moitié de la longueur d'une diagonale, est ce normale ?

Bonjour,
Oui, rien d'anormal.
Tout dépend de la forme de la pyramide.

Nous n'avons pas de figure, donc, mon raisonnement ai juste ? la hauteur mesure bien 5√2 cm ?

Oui.
La figure est celle que tu as donnée.

Oui, maintenant pour calculer l'aire totale des faces de la pyramide donc la question 2, mon raisonnement est le suivant :
Je sais que l'aire totale d'un solide est la somme de l'aire latérales et des aides de bases donc,
l'aire d'un triangle = (bxh) / 2
donc, ici A = ( 10 x 5√2 ) /2
A = 25√2 cm²
l'aire d'un carré = cxc
donc ici, A = 10 x 10
A = 100 cm²
Donc pour trouvé l'aire totale je fais, aire faces latérales + aires bases
donc ici, Atotal = 25√2 x 4 + 100
Atotal ≈ 241,42 cm²

Non.
Précise ce que tu entends par A,b, et h.
N'oublie pas que les faces latérales sont des triangles équilatéraux.

L'aire d'un triangle équilatérale est le suivany : A = c * √c² - (c/2)² / 2 ?

Non.
Dessine un triangle équilatéral, ici de côté 10, et trace l'une de ses hauteurs : il faut calculer la longueur de cette hauteur.

$fichier math$

la hauteur du triangle joint un sommet au milieu du cote oppose. Dans le triangle SDO rectangle O.
Le theoreme de Pythagore donne :
SD² = SO² + DO²
SO² = SD² - DH²
SO² = 10² - 5²
SO² = 75
√75 = 5√3 cm
donc, SO = 5√3 cm
Je sais que l'aire totale d'un solide est la somme de l'aire latérales et des aides de bases donc,
l'aire d'un triangle = (bxh) / 2
donc, ici A = ( 10 x 5√3 ) /2
A = 25√3 cm²
l'aire d'un carré = cxc
donc ici, A = 10 x 10
A = 100 cm²
Donc pour trouvé l'aire totale je fais, aire faces latérales + aires bases
donc ici, Atotal = 25√3 x 4 + 100
Atotal ≈ 273,20 cm²

Garde le résultat exact. Ne donne de valeurs approchées que si on te le demande.
Ici, écris Atotal = 25√3 x 4 + 100 = 100√3 + 100

Si E est le milieu de [SC], montrer que la droite (SC) est perpendiculaire au plan (DEB)

comment montrer cela ?

Si tu es gêné par le dessin en perspective, fais des dessins séparés des faces SBC et SCD.
Que peut-on dire des droites (BE) et (SC) ?

(BE) est perpendiculaire a (SD)

Tu veux dire à (SC) ?

Oui voilà pardon

Et si tu regardes l'autre face : SCD : que peux-tu dire ?

$fichier math$

Je connais une propriété qui dis :

On dit que la droite d est perpendiculaire au plan P si elle est perpendiculaire à deux droites sécantes de P.
Dans ce cas, d est perpendiculaire à toute droite du plan P.

Oui, c'est cette propriété qu'il va falloir utiliser.
Mais avant, tu dois donner deux droites du plan (EBD) perpendiculaires à ta droite (SC) : pour le moment tu n'en as cité qu'une : (BE).

(BE) est perpendiculaire a (SD)

Non.
Dans le triangle équilatéral SBC, (BE) est perpendiculaire à (SC).
Dans le triangle équilatéral SCD, (DE) est perpendiculaire à (SC).
Les droites (BE) et (DE) sont deux droites du, plan EBD, sécantes (en E) et perpendiculaires à (SC), donc selon la propriété que tu as rappelée, (SC) est perpendiculaire au plan EBD.

Comment calculer l'aire du triangle DEB ?

Calcule EH.

Je n'arrive pas

Suis le conseil que je t'ai déjà donné : dessine à part le triangle SHC.
Quelle est sa nature ?

C'est un triangle rectangle

Pas seulement, souviens-toi de ta première question.

Rectangle et isocèle

Oui, alors que vaut EH ?

5√2

Non.
Dessine SHC, tu verras que ta réponse est forcément fausse.

C'est 5√2 / 2

Non.
SHC est rectangle et isocèle en H.
SH = HC = 5√2
SC = 10.
E est le milieu de [SC] ...

Donc, EH vaut 5

Oui.
Maintenant, dessine le triangle EBD. Quelle est sa nature ?

Rectangle et isocèle aussi

Non : je ne suis pas sûr qu'il soit rectangle. Mais isocèle, oui car BE = DE : regarde les deux triangles équilatéraux SBC et SCD, de même "taille".

Je n'arrive pas

Tu es fatigué, voilà tout.
J'espère que ton exercice n'est pas pour demain ?

Si mais j'y suis depuis 1semaine

Est-ce que tu comprends que EBD est isocèle ?
EB = ED = 5√3 ( la hauteur des faces équilatérales).
De toute façon inutile de connaître leur valeur.
Car H est le milieu de [BD]et donc EH est la hauteur du triangle EBD, BD étant la base.
Tu peux donc calculer l'aire de ce triangle.