Suites convergentes



  • Bonjour, j'ai fait les premières questions de cet exercice :
    La suite Un est définie par :
    U0=3 et pour tout entier n, Un+1= 2/Un+1

    1. demontrer que pour tout entier n, Un>0
    2. la suite Vn est définie pour tout entier n par : V
      n= (Un-1)/(Un+2)
      démontrez que Vn est une suite géométrique et précisez sa limite
    3. déduisez en que la suite Un est convergente et trouvez sa limite

    Je suis bloquée à la dernière question, pouvez-vous me donner une piste s'il vous plait ? Merci


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Pour la dernière question , tu calcules Un en fonction de Vn

    $v_n=\frac{u_n-1}{u_n+2$

    Produits en croix :

    vn(un+2)=un1v_n(u_n+2)=un-1

    Développements :

    vnun+2vn=un1v_nu_n+2v_n=u_n-1

    Tu mets les termes contenant Un dans le membre de gauche

    Tu factorises ( le membre de gauche )

    Après division , tu dois trouver , sauf erreur :

    un=12vnvn1u_n=\frac{-1-2v_n}{v_n-1}

    Tu peux changer tous les ignes ( ce qui ne changera pas le signe du quotient ) :

    un=1+2vnvn+1u_n=\frac{1+2v_n}{-v_n+1}

    Connaissant la congergence et la limite de Vn , tu pourras déduire la convergence et la limite de Un



  • D'accord merci. J'en déduis que la limite de Un quand n tend vers + infini est 1 ? Pour la convergence, j'ai du mal à comprendre ce que cela represente..


  • Modérateurs

    Tout dépend ce que tu as trouvé pour Vn ( je n'ai fait aucun calcul , je n'ai répondu qu'à ta question ).

    Si la limite de Vn est 0 , la limite de Un est bien 1.

    La convergence PRECEDE la recherche de la valeur de la limite.

    Une suite convergente est une suite qui a une limite finie l (lorsque n tend vers +∞)
    Après avoir justifié la convergence , on cherche la valeur de l .



  • Oui j'avais trouvé que la limite de Vn est 0 à la question 2.
    Je dois démontrer que Un converge vers 1 ?


  • Modérateurs

    C'est un conséquence directe.



  • Je dis que Un converge vers 1 donc que sa limite quand n tend vers plus l'infini est 1. C'est suffisant ?


  • Modérateurs

    C'est à toi de rédiger!

    Indique que Vn converge vers 0 donc .................


 

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