Suites et Récurrence

Bonsoir,

Nous avons la suite Un définit telle que pour n≥1 on a :
Un = 1+1/2+1/3+...+1/n

Nous devons montrer que pour tout entier n≥1, exp(Un)≥n+1

Je sais que l'on doit procéder par récurrence mais je ne sais pas comment m'y prendre. Toute aide sera grandement appréciée. Merci d'avance.

Bonsoir ,

C'est un exercice isolé ou bien tu as des questions préalables ?

Sans questions préalables , cette question me semble un peu difficile...

Quelques pistes éventuelles ,

Initialisation pour n=1 ( facile)

Transmission:

hypothèse pour un naturel n supérieur ou égal à 1 : $eu(n)≥n+1e^{u(n)} \ge n+1$

conclusion à démontrer: $eu(n+1)≥n+2e^{u(n+1)} \ge n+2$

Piste pour la démonstration :

$eu(n+1)=eu(n)+1n+1=eu(n).e1n+1e^{u(n+1)}=e^{u(n)+\frac{1}{n+1}}=e^{u(n)}.e^{\frac{1}{n+1}}$

Par hypothèse de la récurrence

$eu(n)≥n+1e^{u(n)} \ge n+1$

Donc : $eu(n)e1n+1≥(n+1)e1n+1e^{u(n)} e^{\frac{1}{n+1}}\ge (n+1)e^{\frac{1}{n+1}}$

Tu sais ( ou tu dois savoir ...ou l'énoncé te demande de prouver... ) que pour tout x e $x≥x+1^x\ge x+1$

Tu appliques cette propriété à $e1n+1e^{\frac{1}{n+1}}$ et , après calculs , tu arriveras à la conclusion voulue .