Forme Trigonométrique et exponentielle



  • Bonjour à vous,

    Nous commençons à "mélanger" exponentielle et nombre complexe . Or je me heurte déja a des difficulté , voilà pourquoi je sollicite votre aide pour cette exos ... je n'arrive même pas a démarrer car je trouve a la 1. des résultats assez...invraisemblable pour certains , et pour d'autre je bloque en plein calcul.... :

    θ\theta est un réel distinct de π\pi modulo 2π2\pi et :

    t = eiθ2eiθ2eiθ2+eiθ2\frac{e^{i\frac{\theta }{2}}-e^{-i\frac{\theta }{2}}}{e^{i\frac{\theta }{2}}+e^{-i\frac{\theta }{2}}}

    1. Calculez 2t1+t2\frac{2t}{1+t^{2}} , 1t21+t2\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} et 2t1t2\frac{2t}{1-t^{2}} en fonction des lignes trigonométrique de θ\theta.

    2. Prouvez que : sinθ=2tanθ21+tan2θ2sin \theta = \frac{2tan\frac{\theta }{2}}{1+tan^{2}\frac{\theta }{2}} , cosθ=1tan2θ21+tan2θ2cos\theta = \frac{1-tan^{2}\frac{\theta }{2}}{1+tan^{2}\frac{\theta }{2}}
      et tanθ=2tanθ21tan2θ2tan\theta = \frac{2tan\frac{\theta }{2}}{1-tan^{2}\frac{\theta }{2}}

    Merci d'avance a ceux qui me consacreront de leurs temps pour m'aider !



  • Bonjour,
    Tu peux (ce n'est pas la seule méthode) commencer par "calculer" t : tu dois trouver t = itan θ/2



  • Bonjour , merci de prendre de votre temps pour m'aider !

    J'ai essayait , mais bizarrement il n'y a pas de tangente dans mon résultat ... Peut-être que je m'y suis mal prise...
    Pourrais-je avoir quelques détails ?

    j'ai trouver une valeur de t² , en developpant eiθ2+eiθeiθ+2+eiθ\frac{e^{i\theta }-2+e^{-i\theta }}{e^{i\theta }+2+e^{-i\theta }}
    Est-elle simplifiable ?

    Merci encore !



  • Je me suis contenté de remplacer eiθ/2e^{iθ/2 } par cos θ/2 + isin θ/2
    et eiθ/2e^{-iθ/2 } par cos θ/2 - isin θ/2


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Vu que l'on te demande les réponses en fonction des lignes trigonométriques de θ :

    Avec les formules d'Euler

    eiθ+eiθ=2cosθe^{i\theta}+e^{-i\theta}=2cos\theta

    eiθeiθ=2isinθe^{i\theta}-e^{-i\theta}=2isin\theta

    Une question : es-tu vraiment sûre de l'écriture de t que tu as donnée ?



  • Ah oui je comprend mieux ! ce qui donne t=itan θ/2 si j'ai bien compris !

    Sûr je ne sais pas...en tout cas c'est ce que j'obtient

    Merci de m'accorder de votre temps !

    mathtous :: ah oui je me rend compte que sa marche aussi !mmmais du coup qu'elle est la meilleur méthode , la tienne ou celle de mtschoon ?

    Merci encore !


  • Modérateurs

    MissLinoa , il n' y a pas de bonne ou mauvaise réponse , c'est ton énoncé qui parait bizarre !

    Vu l'énoncé , il est certain qu'à la première question il faut trouver les réponses en fontion de θ ( et non θ/2 ); mais , en transformant l'expression de t en fonction de θ/2 , j'aurais souhaité que cela donne tan(θ/2) ...ce qui n'est pas le cas.

    Je répète ma question :
    Pourrais-tu vérifier si l'expression que tu as tapée pour t est bien la bonne ( ne manque-t-il rien...un "i" par exemple...) ?



  • Ah autant pour moi ! Non, j'ai vérifié ...

    La preuve !

    http://img11.hostingpics.net/pics/563562Mathexo.jpg


  • Modérateurs

    Dommage car t=tan(θ/2) et une notation usuelle ...merci d'avoir vérifié.



  • C'est normal ! C'est Donc t = itan θ/2 ?

    pour 2t/(1+t²), j'obtient 2isin/cos², ai - je bon ?

    Pour la 2ème j'obtient e^(2i) - 1 et la 3ème j'ai ( 2e^(i)-2 ) / ( 1 + e^(i))

    Ai-je bon ?


  • Modérateurs

    t=itanθ2t=itan\frac{\theta}{2} il n'ya pas le choix...vu l'énoncé...ce sera utilisé à la seconde question.

    Revois tes calculs du 1)

    Tu dois trouver :

    2t1+t2=itanθ\frac{2t}{1+t^2}=itan\theta

    Comme te le demande l'énoncé , et pour pouvoir tirer des conclusions à la seconde question , pour le 2eme et le 3eme , comme pour le premier , il faut que tu trouves des résultats en fonction de θ



  • je comprend ! Mais bizarrement je ne trouve pas directement de tangente , mais des sinus et cosinus...pour les autres je retombe sur le même résultat , je dois ma m'y prendre quelques part....


  • Modérateurs

    Je ne sais pas comment tu as pratiqué :

    Pour 2t1+t2\frac{2t}{1+t^2} , tu dois trouver , après simplification 2isinθcosθ=itanθ\frac{2isin\theta}{cos\theta}=itan\theta

    je t'indique ce que tu devrais trouver , sauf erreur , pour les autres :

    2t1t2=isinθ\frac{2t}{1-t^2}=isin\theta

    1t21+t2=1cosθ\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{1}{cos\theta}

    Maintenant comment t'y prends-tu ? je l'ignore.

    Je t'indique une méthode possible pour le premier ( et qui s'applique de la même façon pour les 2 autres )

    En utilisant l'expression de t (en fonction de θ/2 ) donnée dans l'énoncé , tu exprimes , avec les exponentielles , 1+t² et 2t en fonction de θ

    Tu en déduis l'expression de 2t /(1+t²) avec les exponentielles en fonction de θ

    Après factorisation et simplification , tu dois obtenir :
    eiθeiθeiθ+eiθ\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}

    Tu transformes cela en sinus et cosinus et tu trouves le résultat proposé.

    Bons calculs .



  • D'accord merci de m'aiclairer ! Ce qui est bizarre c'est que je remplace scrupulesement t dans l'expression indiquée , et par exemple pour la première j'obtiens ceci :

    2eiθ22eiθ2(1+eiθ2)\frac{2e^{i\frac{\theta }{2} }-2e^{-i\frac{\theta }{2}}}{(1+e^{i\frac{\theta }{2}})}

    Je pense que mon erreur n'est qu'un petit détails , mais avec plusieurs tentative je ne vois pas...c'est assez frustrant....

    Néanmoin je compte vraiment réessayer jusqu'à obtenir le résultats escompté dans ces 3 expressions sinon je tirerais parti de votre correction pour ne plus faire cette erreur regrettable , surtout si elle intervient lors d'un Devoir Surveillé...

    Selon vos explications , j'ai compris qu'il fallait passer de la forme exponentielle a la forme " trigonométrique " ( cos..+isin..)? en reprenant a partir de votre dernière expression j'obtient :

    12cos(θ+π)+2isin(θ+π)carcosθ+isinθcos(θ+π)+isin(θ+π)cosθ+isinθ+cos(θ+π)+isin(θ+π)\frac{1}{2cos(\theta + \pi)+ 2isin(\theta +\pi ) } car \frac{\frac{cos\theta +isin\theta }{cos(\theta +\pi )+isin(\theta +\pi )}}{cos\theta +isin\theta + cos(\theta +\pi )+isin(\theta +\pi )}
    ....

    Merci encore pour votre aide !


  • Modérateurs

    C'est la forme exponentielle qui est difficile à trouver ( en fonction de θ , non de θ/2)
    (Demande si tu n'y arrives vraiment pas )

    Mais, pour passer de le forme exponentielle à la forme trigonométrique , c'est immédiat.

    Je te l'ai déjà dit :

    eiθeiθ=2isinθe^{i\theta}-e^{-i\theta}=2isin\theta
    eiθ+eiθ=2cosθe^{i\theta}+e^{-i\theta}=2cos\theta
    Donc
    2isinθ2cosθ=isinθcosθ=itanθ\frac{2i\sin\theta}{2\cos \theta}=\frac{i\sin\theta}{\cos\theta}=i\tan\theta



  • Oui , je crois que je n'y arrive vraiment pas ....

    Pour passer de la forme exponentielle a la forme trigonométrique , j'ai compris !! C'est vraiment très clair merci !


  • Modérateurs

    Quelques pistes ,

    Je pense que tu as trouvé t² :

    t2=eθ+eiθ2eiθ+eiθ+2t^2=\frac{e^{-\theta}+e^{i\theta}-2}{e^{i\theta}+e^{-i\theta}+2}

    Pour t , je te conseille de multiplier numérateur et dénominateur par eiθ/2e^{iθ/2} pour obtenir une expression en fonction de θ

    d'où t=eiθ1eiθ+1t=\frac{e^{i\theta}-1}{e^{i\theta}+1}

    Tu calcules 2t/(1+t²)

    tu dois trouver , sauf erreur :

    2t1+t2=e2iθ+eiθeiθ+1(eiθ+1)(eiθ+eiθ)\frac{2t}{1+t^2}=\frac{e^{2i\theta}+e^{i\theta}-e^{-i\theta}+1}{(e^{i\theta}+1)(e^{i\theta}+e^{-i\theta})}

    Il te reste à mettre (eiθ+1)(e^{i\theta}+1) en facteur au numérateur et à simplifier.

    Bons calculs !



  • D'accord donc si j'ai bien compris , on remplace t et t² dans cette expression , après simplification j'arrive à :

    (2eiθ2)(eiθ+eiθ+2)(eiθ+1)(2eiθ+2eiθ)\frac{(2e^{i\theta }-2)(e^{i\theta }+e^{-i\theta }+2)}{(e^{i\theta }+1)(2e^{i\theta }+ 2e^{-i\theta })}

    + Est-ce que votre expression est la prochaine étape de ce calcul ? Ou ai-je mal fais ?

    J'ai donc essayer de mettre (e^iθ\theta) + 1 et j'obtient :

    2t1+t2=(eiθ+1)(eiθ+1)(eiθ+1)(eiθ+eiθ)\frac{2t}{1+t^2}=\frac{(e^{i\theta }+1 )(e^{-i\theta }+1)}{(e^{i\theta}+1)(e^{i\theta}+e^{-i\theta})}

    Quel est la prochaine étape ? Pourrais-je voir les détails des 2 autres expressions afin de commencer a prouver ?

    Merci pour votre aide ( et surtout votre patience ! )


  • Modérateurs

    Ta première expression donnée est bonne .

    La factorisation du numérateur n'est pas bonne.

    Je te conseille de commencer par développer le numérateur de la première expression et ensuite essayer de le factoriser.



  • Je n'y arrive pas....j'ai beau simplifier je vois pas l'erreur...


  • Modérateurs

    Tu simplifies par 2 :

    (eiθ1)(eiθ+eiθ+2)(eiθ+1)(eiθ+eiθ)\frac{(e^{i\theta}-1)(e^{i\theta}+e^{-i\theta}+2)}{(e^{i\theta}+1)(e^{i\theta}+e^{-i\theta})}

    En développant le numérateur et en simplifiant , tu dois obtenir au numérateur e2iθ+eiθeiθ1e^{2i\theta}+e^{i\theta}-e^{-i\theta}-1

    Maintanant , tu essaies de factoriser ce numérateur.



  • Pour le numérateur j'ai trouvé :

    (eiθeiθ)(eiθ1)(-e^{i\theta }-e^{i\theta })(-e^{-i\theta }-1)

    Yaura-t-il besoin de factoriser ainsi dans les 2 autres expressions ?
    Sont-elles aussi complexe à élaborer ?


  • Modérateurs

    Tu as une erreur de signe dans la factorisation du numérateur , vérifie.

    e2iθ+eiθeiθ1=(eiθeiθ)(eiθ+1)e^{2i\theta}+e^{i\theta}-e^{-i\theta}-1=(e^{i\theta}-e^{-i\theta})(e^{i\theta}+1)

    Tu peux ainsi simplifier le quotient et trouver la réponse.

    Il faudra factoriser aussi et simplifier dans les deux dernières expressions mais tu pourras utiliser la factorisation faite à la première .



  • Ah oui en effet !! Le voilà le problème..le signe , j'aurais dû y penser...

    Merci !

    Alors pour la 2eme ; Je factorise au dénominateur comme pour le 1) , avec un facteur 4 , et au numérateur , c'est le numérateur de t au carré...

    Pour la 3eme je combine les factorisation de la 2eme et 1ere

    est-ce ça ?


  • Modérateurs

    Pour la 2) et la 3) , ton idée semble juste ( mais je n'ai pas regardé de près )

    Je t'ai indiqué précedemment les réponses alors , regarde si tu arrives aux mêmes résultats.



  • La 2) , je tombe sur presque la même , -2/costéta, donc là ce qui m'embête c'est le - et le 2 ....

    La 3eme du coup est fausse étant donnée que je trouve -icostéta ...



  • Ah et au fait , concernant la 2eme question , je n'ai aucune idée comment faire ( même si je perçois une ressemblance avec les formules du 1) )


  • Modérateurs

    La question 2 est le BUT de l'exercice.

    Pour trouver ces formules , il te suffit de remplacer t par itan(θ/2) dans les résultats trouvés à la 1) .



  • Ah ! donc il suffit simplement de dire ça , de remplaçer et c'est prouver ?


  • Modérateurs

    Il ne faut pas seulement DIRE , il faut FAIRE les transformations

    Les questions s'enchaînent . Les réponses de la 1) permettent de faire la 2) en remplaçant t par itan(θ/2) .


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