Forme Trigonométrique et exponentielle

Bonjour à vous,

Nous commençons à "mélanger" exponentielle et nombre complexe . Or je me heurte déja a des difficulté , voilà pourquoi je sollicite votre aide pour cette exos ... je n'arrive même pas a démarrer car je trouve a la 1. des résultats assez...invraisemblable pour certains , et pour d'autre je bloque en plein calcul.... :

$θ\theta$ est un réel distinct de $π\pi$ modulo $2π2\pi$ et :

t = $eiθ2−e−iθ2eiθ2+e−iθ2\frac{e^{i\frac{\theta }{2}}-e^{-i\frac{\theta }{2}}}{e^{i\frac{\theta }{2}}+e^{-i\frac{\theta }{2}}}$

Calculez $2t1+t2\frac{2t}{1+t^{2}}$ , $1−t21+t2\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$ et $2t1−t2\frac{2t}{1-t^{2}}$ en fonction des lignes trigonométrique de $θ\theta$ .
Prouvez que : $\theta = \frac{2tan\frac{\theta }{2}}{1+tan^{2}\frac{\theta }{2}}$ , $cosθ=1−tan2θ21+tan2θ2cos\theta = \frac{1-tan^{2}\frac{\theta }{2}}{1+tan^{2}\frac{\theta }{2}}$
et $tanθ=2tanθ21−tan2θ2tan\theta = \frac{2tan\frac{\theta }{2}}{1-tan^{2}\frac{\theta }{2}}$

Merci d'avance a ceux qui me consacreront de leurs temps pour m'aider !

Bonjour,
Tu peux (ce n'est pas la seule méthode) commencer par "calculer" t : tu dois trouver t = itan θ/2

Bonjour , merci de prendre de votre temps pour m'aider !

J'ai essayait , mais bizarrement il n'y a pas de tangente dans mon résultat ... Peut-être que je m'y suis mal prise...
Pourrais-je avoir quelques détails ?

j'ai trouver une valeur de t² , en developpant $eiθ−2+e−iθeiθ+2+e−iθ\frac{e^{i\theta }-2+e^{-i\theta }}{e^{i\theta }+2+e^{-i\theta }}$
Est-elle simplifiable ?

Merci encore !

Je me suis contenté de remplacer $e^{iθ/2 }$ par cos θ/2 + isin θ/2
et $e^{-iθ/2 }$ par cos θ/2 - isin θ/2

Bonjour,

Vu que l'on te demande les réponses en fonction des lignes trigonométriques de θ :

Avec les formules d'Euler

$eiθ+e−iθ=2cosθe^{i\theta}+e^{-i\theta}=2cos\theta$

$eiθ−e−iθ=2isinθe^{i\theta}-e^{-i\theta}=2isin\theta$

Une question : es-tu vraiment sûre de l'écriture de t que tu as donnée ?

Ah oui je comprend mieux ! ce qui donne t=itan θ/2 si j'ai bien compris !

Sûr je ne sais pas...en tout cas c'est ce que j'obtient

Merci de m'accorder de votre temps !

mathtous :: ah oui je me rend compte que sa marche aussi !mmmais du coup qu'elle est la meilleur méthode , la tienne ou celle de mtschoon ?

Merci encore !

MissLinoa , il n' y a pas de bonne ou mauvaise réponse , c'est ton énoncé qui parait bizarre !

Vu l'énoncé , il est certain qu'à la première question il faut trouver les réponses en fontion de θ ( et non θ/2 ); mais , en transformant l'expression de t en fonction de θ/2 , j'aurais souhaité que cela donne tan(θ/2) ...ce qui n'est pas le cas.

Je répète ma question :
Pourrais-tu vérifier si l'expression que tu as tapée pour t est bien la bonne ( ne manque-t-il rien...un "i" par exemple...) ?

Ah autant pour moi ! Non, j'ai vérifié ...

La preuve !

http://img11.hostingpics.net/pics/563562Mathexo.jpg

Dommage car t=tan(θ/2) et une notation usuelle ...merci d'avoir vérifié.

C'est normal ! C'est Donc t = itan θ/2 ?

pour 2t/(1+t²), j'obtient 2isin/cos², ai - je bon ?

Pour la 2ème j'obtient e^(2i) - 1 et la 3ème j'ai ( 2e^(i)-2 ) / ( 1 + e^(i))

Ai-je bon ?

$t=itanθ2t=itan\frac{\theta}{2}$ il n'ya pas le choix...vu l'énoncé...ce sera utilisé à la seconde question.

Revois tes calculs du 1)

Tu dois trouver :

$2t1+t2=itanθ\frac{2t}{1+t^2}=itan\theta$

Comme te le demande l'énoncé , et pour pouvoir tirer des conclusions à la seconde question , pour le 2eme et le 3eme , comme pour le premier , il faut que tu trouves des résultats en fonction de θ

je comprend ! Mais bizarrement je ne trouve pas directement de tangente , mais des sinus et cosinus...pour les autres je retombe sur le même résultat , je dois ma m'y prendre quelques part....

Je ne sais pas comment tu as pratiqué :

Pour $2t1+t2\frac{2t}{1+t^2}$ , tu dois trouver , après simplification $2isinθcosθ=itanθ\frac{2isin\theta}{cos\theta}=itan\theta$

je t'indique ce que tu devrais trouver , sauf erreur , pour les autres :

$2t1−t2=isinθ\frac{2t}{1-t^2}=isin\theta$

$1−t21+t2=1cosθ\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{1}{cos\theta}$

Maintenant comment t'y prends-tu ? je l'ignore.

Je t'indique une méthode possible pour le premier ( et qui s'applique de la même façon pour les 2 autres )

En utilisant l'expression de t (en fonction de θ/2 ) donnée dans l'énoncé , tu exprimes , avec les exponentielles , 1+t² et 2t en fonction de θ

Tu en déduis l'expression de 2t /(1+t²) avec les exponentielles en fonction de θ

Après factorisation et simplification , tu dois obtenir :
$eiθ−e−iθeiθ+e−iθ\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}$

Tu transformes cela en sinus et cosinus et tu trouves le résultat proposé.

Bons calculs .

D'accord merci de m'aiclairer ! Ce qui est bizarre c'est que je remplace scrupulesement t dans l'expression indiquée , et par exemple pour la première j'obtiens ceci :

$2eiθ2−2e−iθ2(1+eiθ2)\frac{2e^{i\frac{\theta }{2} }-2e^{-i\frac{\theta }{2}}}{(1+e^{i\frac{\theta }{2}})}$

Je pense que mon erreur n'est qu'un petit détails , mais avec plusieurs tentative je ne vois pas...c'est assez frustrant....

Néanmoin je compte vraiment réessayer jusqu'à obtenir le résultats escompté dans ces 3 expressions sinon je tirerais parti de votre correction pour ne plus faire cette erreur regrettable , surtout si elle intervient lors d'un Devoir Surveillé...

Selon vos explications , j'ai compris qu'il fallait passer de la forme exponentielle a la forme " trigonométrique " ( cos..+isin..)? en reprenant a partir de votre dernière expression j'obtient :

$12cos(θ+π)+2isin(θ+π)carcosθ+isinθcos(θ+π)+isin(θ+π)cosθ+isinθ+cos(θ+π)+isin(θ+π)\frac{1}{2cos(\theta + \pi)+ 2isin(\theta +\pi ) } car \frac{\frac{cos\theta +isin\theta }{cos(\theta +\pi )+isin(\theta +\pi )}}{cos\theta +isin\theta + cos(\theta +\pi )+isin(\theta +\pi )}$
....

Merci encore pour votre aide !

C'est la forme exponentielle qui est difficile à trouver ( en fonction de θ , non de θ/2)
(Demande si tu n'y arrives vraiment pas )

Mais, pour passer de le forme exponentielle à la forme trigonométrique , c'est immédiat.

Je te l'ai déjà dit :

$eiθ−e−iθ=2isinθe^{i\theta}-e^{-i\theta}=2isin\theta$
$eiθ+e−iθ=2cosθe^{i\theta}+e^{-i\theta}=2cos\theta$
Donc
$2isin⁡θ2cos⁡θ=isin⁡θcos⁡θ=itan⁡θ\frac{2i\sin\theta}{2\cos \theta}=\frac{i\sin\theta}{\cos\theta}=i\tan\theta$

Oui , je crois que je n'y arrive vraiment pas ....

Pour passer de la forme exponentielle a la forme trigonométrique , j'ai compris !! C'est vraiment très clair merci !

Quelques pistes ,

Je pense que tu as trouvé t² :

$t2=e−θ+eiθ−2eiθ+e−iθ+2t^2=\frac{e^{-\theta}+e^{i\theta}-2}{e^{i\theta}+e^{-i\theta}+2}$

Pour t , je te conseille de multiplier numérateur et dénominateur par $e^{iθ/2}$ pour obtenir une expression en fonction de θ

d'où $t=eiθ−1eiθ+1t=\frac{e^{i\theta}-1}{e^{i\theta}+1}$

Tu calcules 2t/(1+t²)

tu dois trouver , sauf erreur :

$2t1+t2=e2iθ+eiθ−e−iθ+1(eiθ+1)(eiθ+e−iθ)\frac{2t}{1+t^2}=\frac{e^{2i\theta}+e^{i\theta}-e^{-i\theta}+1}{(e^{i\theta}+1)(e^{i\theta}+e^{-i\theta})}$

Il te reste à mettre $(eiθ+1)(e^{i\theta}+1)$ en facteur au numérateur et à simplifier.

Bons calculs !

D'accord donc si j'ai bien compris , on remplace t et t² dans cette expression , après simplification j'arrive à :

$(2eiθ−2)(eiθ+e−iθ+2)(eiθ+1)(2eiθ+2e−iθ)\frac{(2e^{i\theta }-2)(e^{i\theta }+e^{-i\theta }+2)}{(e^{i\theta }+1)(2e^{i\theta }+ 2e^{-i\theta })}$

+ Est-ce que votre expression est la prochaine étape de ce calcul ? Ou ai-je mal fais ?

J'ai donc essayer de mettre (e^i $θ\theta$ ) + 1 et j'obtient :

$2t1+t2=(eiθ+1)(e−iθ+1)(eiθ+1)(eiθ+e−iθ)\frac{2t}{1+t^2}=\frac{(e^{i\theta }+1 )(e^{-i\theta }+1)}{(e^{i\theta}+1)(e^{i\theta}+e^{-i\theta})}$

Quel est la prochaine étape ? Pourrais-je voir les détails des 2 autres expressions afin de commencer a prouver ?

Merci pour votre aide ( et surtout votre patience ! )

Ta première expression donnée est bonne .

La factorisation du numérateur n'est pas bonne.

Je te conseille de commencer par développer le numérateur de la première expression et ensuite essayer de le factoriser.

Je n'y arrive pas....j'ai beau simplifier je vois pas l'erreur...

Tu simplifies par 2 :

$(eiθ−1)(eiθ+e−iθ+2)(eiθ+1)(eiθ+e−iθ)\frac{(e^{i\theta}-1)(e^{i\theta}+e^{-i\theta}+2)}{(e^{i\theta}+1)(e^{i\theta}+e^{-i\theta})}$

En développant le numérateur et en simplifiant , tu dois obtenir au numérateur $e2iθ+eiθ−e−iθ−1e^{2i\theta}+e^{i\theta}-e^{-i\theta}-1$

Maintanant , tu essaies de factoriser ce numérateur.

Pour le numérateur j'ai trouvé :

$(−eiθ−eiθ)(−e−iθ−1)(-e^{i\theta }-e^{i\theta })(-e^{-i\theta }-1)$

Yaura-t-il besoin de factoriser ainsi dans les 2 autres expressions ?
Sont-elles aussi complexe à élaborer ?

Tu as une erreur de signe dans la factorisation du numérateur , vérifie.

$e2iθ+eiθ−e−iθ−1=(eiθ−e−iθ)(eiθ+1)e^{2i\theta}+e^{i\theta}-e^{-i\theta}-1=(e^{i\theta}-e^{-i\theta})(e^{i\theta}+1)$

Tu peux ainsi simplifier le quotient et trouver la réponse.

Il faudra factoriser aussi et simplifier dans les deux dernières expressions mais tu pourras utiliser la factorisation faite à la première .

Ah oui en effet !! Le voilà le problème..le signe , j'aurais dû y penser...

Merci !

Alors pour la 2eme ; Je factorise au dénominateur comme pour le 1) , avec un facteur 4 , et au numérateur , c'est le numérateur de t au carré...

Pour la 3eme je combine les factorisation de la 2eme et 1ere

est-ce ça ?

Pour la 2) et la 3) , ton idée semble juste ( mais je n'ai pas regardé de près )

Je t'ai indiqué précedemment les réponses alors , regarde si tu arrives aux mêmes résultats.

La 2) , je tombe sur presque la même , -2/costéta, donc là ce qui m'embête c'est le - et le 2 ....

La 3eme du coup est fausse étant donnée que je trouve -icostéta ...

Ah et au fait , concernant la 2eme question , je n'ai aucune idée comment faire ( même si je perçois une ressemblance avec les formules du 1) )

La question 2 est le BUT de l'exercice.

Pour trouver ces formules , il te suffit de remplacer t par itan(θ/2) dans les résultats trouvés à la 1) .

Ah ! donc il suffit simplement de dire ça , de remplaçer et c'est prouver ?

Il ne faut pas seulement DIRE , il faut FAIRE les transformations

Les questions s'enchaînent . Les réponses de la 1) permettent de faire la 2) en remplaçant t par itan(θ/2) .

Donc je constate que t = itan(téta/2) , je dis qu'il suffit de remplacer dans l'expression...et je fais les transformation...c'est-à-dire , je developpe avec la valeur de t ? je remplace a partir d'une certaines étapes ?

je t'en fais une comme exemple

Tu sais que $2t1+t2=itanθ\frac{2t}{1+t^2}=itan\theta$

Donc :

$2itan⁡θ21+i2tan⁡2θ2=itanθ\frac{2i\tan\frac{\theta}{2}}{1+i^2\tan^2\frac{\theta}{2}}=itan\theta$

Tu termines en simplifiant les i et en remplaçant i² par -1

A toi de faire les deux autres.

Aah j'ai compris !!

pour le 1/costéta , il suffit de calculer avec itan(téta/2) et on inverse numérateur et dénominateur pour obtenir costéta = ...etc..

et pour sintéta , $=2itanθ21−i2tan2θ2=2itanθ21−itan2θ2=sinθ=\frac{2itan\frac{\theta }{2}}{1-i^{2}tan^{2}\frac{\theta }{2}} =\frac{2itan\frac{\theta }{2}}{1-itan^{2}\frac{\theta }{2}} = sin\theta$
et je simplifie les i c'est ça ?

Revois de près ta dernière formule . Il y a quelques erreurs .

Ah..Même en simplifiant les i ?

Ah erreur de signe au dénominateur c'est ça ?Puis le i également du dénominateur qui tyransformer en -1 , disparait...je crois que j'ai repérer toutes les erreur , c'est ça ?

La formule de départ devrait être

$isinθ=2itanθ21−i2tan2θ2isin\theta=\frac{2itan\frac{\theta}{2}}{1-i^2tan^2\frac{\theta}{2}}$

Oui , désolé j'ai voulu faire vite , en fait j'ai simplifier le i de sintéta avec celui du dénominateur...j'aurais du simplifier celui celui du numérateur c'est ça ?( d'ailleur sa ma l'air plus logique , pour pouvoir obtenir le résultat voulu

Tu remplaces tout simplement i² par -1 au dénominateur et tu simplifies ensuite les deux "i" des numérateurs.

D'accord , merci énormément de m'avoir aidé !

Les calculs de cet exercice n'étaient pas faciles !

Bon DM.