Montrer que deux suites sont adjacentes

Bonjour,

Les suites Un et Vn sont définies par $U_0$ = -1 et $V_0$ = 2 et pour tout entier n : $U_{n+1}$ = (Un+Vn)/2 et $V_{n+1}$ = (Un+4Vn)/5
1)a) démontrez par récurrence que pour tout n, Un<Vn
B) démontrer que les suites Un et Vn sont adjacentes
2) soit Tn= 2Un+ 5Vn
Démontrez que Tn est constante et en déduire la limite de U

Je suis bloquée à partir de la 1b), pouvez-vous m'aider à faire la suite de cet exercice s'il vous plait ?
Cordialement

Bonjour,

Relis l'énoncé écrit. Des codes n'ont pas dû passer , car on ne sait pas ce que tu as démontré au 1)a) ? c'est peut-être utile...

Pour la 1a) j'ai fait dans l'etape de l'heredite : $U_{n+1}$ - $V_{n+1}$ . J'ai trouvé un résultat égale à (3Un - 3Vn)/10, j'en ai déduis que ce résultat est < 0 donc que Un est inferieur à Vn
(il n'y a aucune erreur dans l'enoncé)

Le signe < a du poser un problème ( c'est fréquent )

Il y a écrit :
Citation
démontrez par récurrence que pour tout n, Un

Si tu pouvais le ré-écrire...désolée...

Il faut démontrer que Un est inférieur à Vn. Désolée je n'avais pas remarqué

Donc , au 1)b) , pour démonter que les suites sont adjacentes , par définition , il faut que tu montres 3 choses :

(Un) croissante

(Vn) décroissante

$lim⁡n→+∞(un−vn)=0\lim_{n\to +\infty}(u_n-v_n)=0$

Je te fais la première : (Un) croissante.

$un+1−un=un+vn2−un=vn−un2u_{n+1}-u_n=\frac{u_n+v_n}{2}-u_n=\frac{v_n-u_n}{2}$

D'après la question 1)a) $vn−un>0v_n-u_n \gt 0$ donc $un+1−un>0u_{n+1}-u_n \gt 0$ donc :

(Un) croissante.

Tu continues.

Merci. $V_{n+1}$ - Vn = (Un+ 4Vn )/5 - Vn = (Un-Vn)/5
Vn > Un donc $V_{n+1}$ > $U_{n+1}$ et puisque Un est croissante, Vn est croissante

Tu calcul est bon mais ta conclusion ne l'est pas .

Relis la démarche que je t'ai suggérée pour le sens de variation de (Un) et raisonne de la même façon.

Vn-Un > 0 donc Vn+1 -Vn > 0 donc la suite Vn est croissante

Fais attention !

Tu as trouvé que : $vn+1−vn=un−vn5v_{n+1}-v_n=\frac{u_n-v_n}{5}$

C'est donc le signe de Un-Vn qui faut utiliser .

Un - Vn < 0 ? Mais dans ce cas, Vn est décroissante ?

Oui et c'est ce que je t'avais indiqué précédemment ( revois la définition de suites adjacentes )

D'accord Merci