A partir de relations fonctionnelles

Pouvez vous me guider SVP?!

F et g sont 2 fonctions dérivables sur R qui vérifient les propriétés suivantes.
(1) Pr tt reel x, (f(x))²- (g(x))² = 1
(2) Pr tt reel x, f(x)= g’(x)
(3) f(0) = 1

a. Démontrer que pr tt reel x, f(x) ≠0
b.Calculer g(0)

En dérivant chaque membre de l’égalité de la proposition (1), demontrer que pour tout reel x, g(x)=f’(x)
On pose u = f + g et v= f – g

a/ Calculer u(0) et v(0)
b/ Démontrer que u’=u et v’= - v
c) Déterminer les fonctions de u et v

4.En déduire les expressions de f(x) et g(x)

merci

Je suis qu'en seconde mais voilà ma reponse pour le petit a)

Si f=0 alors g' serait égal à 0
Si g'=0 alors g sa primitive seraoit égal à c (constante)
et f²-g²=1 d'où 0²-(0+c)²=1 et j'ai -(c)²=1 c²=-1 d'où c=i
i n'est pas réel donc f ne peut etre égale à zéro !!!

Pour le petit b)

On remplace x par 0 dans la premiere equation :
f²(0)-g²(0)=1
f(0)=1 donc f²(0)=1
1-g²(0)=1
-g²(0)=0 d'où g(0)=0

salut,

1)supposons que il existe Xo dans R tel que f(Xo)=0

de (f(x))²- (g(x))² = 1 il en découle que g(Xo)²=-1! ce qui est impossible dans R

donc f est non nulle quelque soit x prit dans R.

1b) g(0)=0

2)derivons (f(x))²- (g(x))² = 1

soit 2f(x).f'(x)-2g(x).g'(x)=0

soit f(x).f'(x)=g(x).g'(x) , comme de la proposition 2) f(x)=g'(x) , alors

il reste f'(x)=g(x).

U(0)=0 et v(0)=1

u=f+g alors u'=f'+g'=g+f=u
v=f-g alors v'=f'-g'=0=g-f=-v

on a f=(u+v)/2 et g=(u-v)/2

moralité de l'exercice ; tout se ramène aux fonctions hyperboliques
shx et chx avec chx =(e^x+e^-x)/2 et shx=(e^x-e^-x)/2

p'tite erreur ici: v'=f'-g'=0=g-f=-v il faut lire v'=f'-g'=g-f=-v

Donc mes reponses étaient bonnes ??
Je me demande ça parce que je suis en seconde...
Et donc si j'avais bon ça serait cool !

et aussi ...u'=u alors u(x)=e^x et pour v'=-v alors v(x)=e^-x

voila et ce sera complet !

ahhh oui t' a bon , t'es balaise!

du calme Zorro, du calme....

Ok! Merci a tous! Par contre je ne vois pas du tous ce qu'est les fonctions sh et ch, mais bon! c'est pa grave! Je n'ai pas encore vu sa en cours.

U(0)=0 et v(0)=1
Peux tu detailler stp! Car je trouve U(0)=1, car u=f+g et f(0)=1 ainsi que g(0)=0

merci

pour la question 4 aussi, je ne comprend pas coment on trouve f=(u+v)/2, ainsi que g..! Si vous pouviez detailler!
merci beaucoup

il suffit de résoudre le système ;u=f+g
v=f-g