Résoudre sur R une équation différentielle

Bonsoir

Je dois résoudre sur R cette equation differentielle:

x(x²-1)y'+2y=x²

Je fais l'etude sur R-{-1;0;1} pour commencer.

Je trouve pour sol homogène : ln(1-1/|x²|) donc $λ\lambda$ (x)*exp( ln(1-1/|x²|))=1-1/|x²|=1-1/x²

pour la solution particulière je dois avoir $λ\lambda$ '(x)= x^3/((x²-1)²)

Suis je dans la bonne voie ? Sans erreur ? Et pour la primitive de x^3/((x²-1)²) je suis bloqué...

Merci d'avance pour votre reponse.

Bonjour,

Tu devrais revoir tes calculs,

Soit (1) l'équation proposée

(1) peut s'écrire :

$y′=−2x(x2−1)y+x2x(x2−1)y'=\frac{-2}{x(x^2-1)}y+\frac{x^2}{x(x^2-1)}$

L'équation homogène associée est :

(2) $y′=−2x(x2−1)yy'=\frac{-2}{x(x^2-1)}y$

$y′y=−2x(x2−1)↔y′y=−2xx2−1+2x\frac{y'}{y}=\frac{-2}{x(x^2-1)}\leftrightarrow \frac{y'}{y}=\frac{-2x}{x^2-1}+\frac{2}{x}$

Après calculs , les solutions de (2) s'écrivent : $y=λ(x2x2−1)y=\lambda(\frac{x^2}{x^2-1})$

Avec la méthode par "variation de la constante" , tu dois trouver : $λ′=1x\lambda'=\frac{1}{x}$

Donc $λ=lnx+c\lambda=lnx+c$

CONCLUSION : les solutions de (1) s'écrivent :

$y=(lnx+c)x2x2−1y=(lnx+c)\frac{x^2}{x^2-1}$

Bons calculs !

Bon dimanche.

J'arrive largement après la bataille. Je valide dans l'ensemble les calculs de mtschoon, mais il me parait essentiel de bien faire attention aux intervalles sur lesquels on travaille.
En effet $r\mathbb r$ $∖−1,0,1\setminus{-1,0,1}$ n'est pas un intervalle.

Donc en posant $i1=]−∞,−1[i_1 = ]-\infty,-1[$ , $i_2=]-1,0[$ , $i_3 = ]0,1[$ et $i4=]1,+∞[i_4 = ]1,+\infty[$ , on a sur chacun des intervalles $ik,,0≤k≤4i_k,, 0\leq k \leq4$ ,
$y=(ln⁡∣x∣+ck)x2x2−1y=(\ln\mid x\mid +c_k)\frac{x^2}{x^2-1}$ où la constante $c_k$ dépend de l'intervalle $i_k$ considéré.

Maintenant commence le travail délicat : recoller les solutions pour avoir les solutions sur $r\mathbb r$ tout entier.

En zéro, on voit que quels que soient les choix de $c_2$ et $c_3$ , on peut prolonger $y$ par continuité par $y (0) = 0$ . Ensuite le quotient $yx\dfrac yx$ tend lui aussi vers zéro, ce qui permet d'affirmer que $y$ est dérivable en zéro.

Bien entendu, l'équation différentielle est vérifiée en zéro.

On a ainsi une famille de solutions sur l'intervalle $] - 1, 1 [$ qui dépend des deux paramètres $c_2$ et $c_3$ .

(À suivre ?)

Il reste à voir ce qui se passe en 1. En effet pour des raisons de symétrie puisque $y$ est paire lorsque $c_2 = c_3$ et $c_1 = c_4$ .

On a $y(1+h)=ln⁡(1+h)(1+h)2h(2+h)+ck(1+h)2h(2+h)y(1+h)=\ln (1+h) \frac{(1+h)^2}{h(2+h)} +c_k \frac{(1+h)^2}{h(2+h)}$ . Or $lim⁡h→0ln⁡(1+h)(1+h)2h(2+h)=12\displaystyle\lim_{h\to0} \ln (1+h) \frac{(1+h)^2}{h(2+h)} = \dfrac12$ . Cela impose que $c_3$ et $c_4$ sont nuls pour pouvoir prolonger $y$ par continuité en 1. Reste à démontrer que $y$ ainsi prolongée est dérivable en 1.

À suivre ?