Continuité de la fonction

Bonjour,

On me demande d'étudier la continuité de la fonction f $(2x−1)3(2x+1)\sqrt{\frac{(2x-1)^3}{(2x+1)}}$

Je ne sais pas trop comment m'y prendre. Une fois que le domaine de définition est obtenu, je ne sais pas trop par quel endroit prendre la question. Faut-il décomposé la fonction en plusieurs petite fonction $(2x−1)3\sqrt{(2x-1)^3}$ et $(2x+1)\sqrt{{(2x+1)}}$ ou encore $2x-1)^3$ et $(2 x + 1)$ et ensuite déterminer la continuité de chaque petite fonction et en déduire la continuité de f ?

Merci pour votre aide.

Bonsoir olea,

Oui, détermine la continuité de chaque fonction, puis du quotient.

Bonjour Noemi et olea ,

olea , j'ai consulté ton précédent topic relatif à cette même fonction $f(x)=(2x−1)32x+1f(x)=\sqrt{\frac{(2x-1)^3}{2x+1}}$

$Df=]−∞,−12[U[12,+∞[Df=]-\infty,-\frac{1}{2}[ U [\frac{1}{2},+\infty[$

Ne fais pas la même confusion: n'utilise pas la fonction

$g(x)=sqrt2x−1)32x+1g(x)=\frac{sqrt{2x-1)^3}}{\sqrt{2x+1}}$

car Dg= $[12,+∞[[\frac{1}{2},+\infty[$

f et g sont égales seulementpour x ≥ 1/2
Pour x < -1/2 , f existe alors que g n'existe pas.

Comme pour la dérivabilité , pour la continuité de f que tu dois étudier sur Df donc utilise l'écriture de f (non celle de g )

Tu dois donc étudier la continuité de x -> $2x-1)^3$ , x -> (2x+1) , puis celle du quoitient et ensuite celle de la racine carrée du quotient.

Une remarque : Pour cette fonction f , il serait bon de savoir si tu as posé tes questions dans l'ordre de ton devoir , c'est à dire :
est-ce que cette question sur la continuité a été posée AVANT ou APRES la dérivabilité?

Toute fonction dérivable est continue.
Si l'étude de la dérivabilité a été faite avant , en fait , il ne te reste qu'à étudier la continuité pour x=1/2 ( vu que f est dérivable sur ]-∞,-1/2[ U ]1/2,+∞[ )

Tiens nous au courant.

Bonjour mtschoon,

Merci pour toutes ces réponses !
Dans la question, on me demande :

Étudier la continuité et la dérivabilité de f sur Df et calculer f'(x).

J'avais commencé par la dérivée car je me sens plus "à l'aise" sur ce point.

Je vais continuer l'exercice selon la méthode que vous m’avez indiqué.

Bonjour Olea
Je t'ai répondu sur la dérivabilité.
Tu aurais dû regrouper tout dans un seul sujet, quitte à traiter question par question.

mathtous
Bonjour Olea
Je t'ai répondu sur la dérivabilité.
Tu aurais dû regrouper tout dans un seul sujet, quitte à traiter question par question.

Oui en effet, je l'ai vu qu'après et j'ai tout de suite modifié le message et déposé au bonne endroit.

Je pense , olea , que Mathtous Noemi et mi sont contents de t'aider , mais à l'avenir, écris nous la totalité de l'énoncé tel qui t'a été donné , pour éviter toute ambiguïté .

mtschoon

Je pense , olea , que Mathtous Noemi et mi sont contents de t'aider , mais à l'avenir , écris nous la totalité de l'énoncé tel qui t'a été donné , pour éviter toute ambiguïté .
Ok c'est noté.

Bonjour,

Je souhaitai répondre à la question comme ceci (cependant je n'arrive pas faire de conclusion) :

Le domaine de définition de la fonction est : $Df=]−∞,−12[U[12,+∞[Df=]-\infty,-\frac{1}{2}[ U [\frac{1}{2},+\infty[$

Pour étudier la continuité de la fonction f je vais procéder par décomposition des éléments dont on connaît la continuité.

1- Les fonctions polynômes sont continues sur R, d’où (2x-1)^3 est continu su R
2- La fonction (2x+1) est continue dans R (fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 1)
3- Ces deux fonctions sont continues sur R, donc u/v est continue sauf à l'endroit où le dénominateur s'annule. Soit le domaine de définition est R-{-1/2} (J'ai également un doute sur ma conclusion du point 3)
4- Les fonction racine carrée sont continue sur R+, d'où....c'est là que je bloque car je sais comment exploiter cette information (en rapport avec les point1,2 et 3 ci-dessus)

De part le domaine de définition de f que le fonction n'est pas continue(coupé entre -1/2 et 1/2) mais je ne sais comment l'amené.

Merci pour votre aide.

Citation
Soit le domaine de définition est R-{-1/2}Non : le domaine de f est ce que tu as écrit plus haut (réunion des deux intervalles).
Pour -1/2, la situation est simple : la fonction n'est pas définie pour -1/2, donc elle n'y est pas continue (le problème ne se pose en réalité pas).

La racine carrée est continue là où le radicande est continu.
f est donc continue sur Df \ {-1/2} ( et non pas comme tu l'avais écrit sur R {-1/2}).

Merci pour votre réponse.

Mais dans ce cas à partir du moment le domaine de définition est composé d'un union (U) entre deux intervalles, puis-je tout simplement dire que la fonction n'est pas continue (coupé).
J'appuie ma réflexion sur le fait qu'on m'a dit qu'une fonction continue est une fonction qu'on peut tracer sans lever le crayon (dans Df).

Par exemple, la fonction u(x)=x²/x, le fonction n'est pas définie sur x=0 donc est-ce que je peux en déduire qu'elle n'est pas continue ?

Une fonction qui n'est pas définie ( en un point ou sur tout un intervalle) ne peut pas être continue en ce point (ou dans cet intervalle).
Tu peux tracer le graphe de f sans lever le crayon à condition de rester dans Df. Évidemment, la fonction n'étant pas définie entre les deux intervalles ne peut pas y être continue.
Ici, la fonction est continue sur Df et pas en -1/2 qui ne s'y trouve pas.
Qu'importe que Df soit "connexe" ou pas.
Reviens à la définition.
Si x0 appartient au domaine de définition de f (sinon, ce qui suit n'a pas de sens), on dit que f est continue en x0 si la limite de f(x) est f(x0) lorsque x tend vers x0 en restant dans Df.
C'est vrai dans chacun des intervalles qui constituent ici Df, y compris en +1/2.

Bonsoir,

Si je m'en tiens à cette définition je dois calculer :

$lim⁡x→−1/2f(x)=f(−1/2)\lim_{x\rightarrow -1/2}f(x) =f(-1/2)$
et
$lim⁡x→1/2f(x)=f(1/2)\lim_{x\rightarrow 1/2}f(x) =f(1/2)$

C'est ça ?

Je suppose que tu as justifié la continuité sur chaque intervalle ouvert et que c'est pour -1/2 et 1/2 que tu as un doute.

a) -1/2 n'appartient pas à Df donc f(-1/2) n'existe pas .

f n'est pas définie donc à forciori pas continue en -1/2

f est continue sur ]-∞, -1/2[

b) f(1/2)=0

Tu peux trouver que

$\lim_{x \to \frac{1}{2}\x \gt \frac{1}{2}}f(x)=0=f(\frac{1}{2})$

f est continue sur ]1/2,+∞[ et f est continue à droite en 1/2 donc f est continue sur [1/2,+∞[

BILAN : f est continue sur chacun des intervalles où elle est définie.

Merci pour votre réponse.
Oui j'ai "justifié" la continuité sur chaque intervalle. Mais là où cela ne me parait pas très évidant est de trouver la continuité sur un intervalle. Je comprends bien pour justifier la continuité à un point x0.

Mais lorsque je lis le théorème : "On dit que f est continue sur I si et seulement si elle est continue en tout point a de I."

Hors je ne vois pas tester tous les points de I alors je suppose qu'il faut étudier à chaque borne de I. Mais je ne vois pas bien lien de cause à effet pour en déduire que la fonction est continue.

En tout cas merci pour votre aide cela m'a permis de bien avancé sur le concept de la continuité d'une fonction.

Citation
Oui j'ai "justifié" la continuité sur chaque intervalle. Mais là où cela ne me parait pas très évident est de trouver la continuité sur un intervalle.

Je ne comprends guère cette phrase...

Pour prouver la continuité sur un intervalle , tu as des propriétés "toutes faites" que tu peux utiliser ( regarde peut-être ton cours , si tu en as un...)

Je te détaille un peu la continuité sur I=]-∞,-1/2[

$f(x)=h(x)f(x)=\sqrt{h(x)}$ avec $h(x)=(2x−1)32x+1h(x)=\frac{(2x-1)^3}{2x+1}$

Toute fonction polynome est continue sur R donc en particulier sur I
Le quotient de 2 fonctions continues ( avec dénominateur non nul ) est continue donc h est continue sur I
La composée de 2 fonctions continues est continue.
Vu que h est continue et que la fonction "racine carrée " ( avec radicande positif ) est continue , la fonction f , qui est la composée de la fonction "racine carrée " avec la fonction h , est continue sur I.