Etudier des suites réelles définies par récurrence

Bonjour à tous !
Je rencontre un problème avec mon DM de maths...
Voici l'énoncé :

Suites

On considère la suite (Un),n∈N définie par U0=1 et pour tout n∈N :
Un+1 = (1/3)*Un + n-2

Calculer U1, U2, U3.
2a. Démontrer que pour tout entier naturel n≥4, Un≥0.
2b. En déduire que pour tout entier naturel n≥5, Un≥n-3.
2c. En déduire la limite de la suite (Un),n∈N.
On définit la suite (Vn),n∈N par, pour tout n∈N :
Vn= -2Un + 3n - (21/2)
3a. Démontrer que la suite (Vn),n∈N est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.
3b. En déduire que pour tout n∈N, Un= (25/4)*(1/3)^n + (3/2)*n - (21/4).
3c. Soit la somme Sn définie pour tout entier naturel n par
.......n
Sn = ∑ Uk.
......k=0
Déterminer l'expression de Sn en fonction de n.

Alors pour la question 1 j'ai trouvé :
U1= -(5/3) U2= -(14/9) U3= -(14/27)
Et à partir de la je suis bloquée...
Je pense qu'il faut résoudre la question 2 en faisait une démonstration par récurrence, mais je n'y arrive pas... J'ai essayé plusieurs choses et j'ai l'impression que ça n'aboutit pas à un bon résultat... Et même en ayant le résultat donné dans la question de la question 2a, je n'arrive pas non plus la question 2b ni la question 2c.
Je n'ai pas encore traité la question 3 mais je pense m'en sortir car c'est une question assez commune aux DM avec des suites donc la question 3 ça va aller.
J'ai simplement besoin que vous m'aidiez pour la question 2a,b,c

Merci beaucoup !

Bonjour,
Calcule aussi U4.

Bonjour,

Oui pour $U_1$ , $U_2$ , $U_3$

2)a) Initialisation : Tu calcules $U_4$ et tu dois trouver $U_4$ ≥0

Transmission (ou hérédité )

A un ordre n ( n ≥ 4) tu supposes Un≥0

Tu dois démontrer que $U_{n+1}$ ≥ 0

début de la démonstration :

$un+1=13un+n−2u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+n-2$

$un≥0u_n\ge 0$ donc $13un≥0\frac{1}{3}u_n\ge 0$

$\ge 4$ donc $\ge 2$ donc $\ge 0$

Tu tires la conclusion sur $U_{n+1}$

Bonjour Mathtous ,

Plongée dans mes écritures , je n'avais pas vu ta réponse...

Pas grave ...

Merci pour votre aide !

En calculant U4, je trouve U4=(67/81)

Alors si je fais :

Initialisation :
U4=(67/81) donc U4≥0

Hérédité :
A un ordre n avec n≥4, on suppose que Un≥0

Démonstration :
On veut montrer que Un+1≥0
Un+1= (1/3)Un+n-2
On sait que Un≥0
Donc (1/3)Un≥0
Or n≥4 donc n-2≥2 donc n-2≥0
Donc (1/3)Un+n-2≥0
Donc Un+1≥0

Si je marque ça ça marche ?
Avec cette conclusion est ce que je pux directement dire que comme Un+1≥0 alors Un≥0 (comme me le demande l'énoncé) ?

Merci beaucoup

Ta démonstration convient mais la phrase que tu marques en conclusion n'est pas très satisfaisante.

Tu ferais mieux de dire que la propriété est vraie pour n=4 et qu'elle est héréditaire , donc qu'elle est vraie pour tout n supérieur ou égal à 4.

(C'est le principe même du raisonnement par récurrence.)

Donc je conclue simplement en disant donc Un+1≥0. La propriété est donc vraie pour n=4 et pour tout n≥4.

C'est tout ? Je ne dis rien avec Un ?

Ne mélange pas .

Un+1≥0 est la conclusion de ta démonstration relative à l'hérédité.

En suite ,tu fais une conclusion générale .

Comme je te l'ai déjà dit , mais peut-être pas assez clairement :

La propriété** $U_n$ ≥0**est vraie pour n=4 et elle est héréditaire , donc cette propriété $U_n$ ≥0est vraie pour tout n supérieur ou égal à 4.

Ah d'accord ! Je n'avais pas compris ! Merci ^^

Pour la question 2b), je dois refaire la même chose avec la démonstration par récurrence ? C'est marqué que je dois en déduire mais pour le montrer avec n≥5 je ne vois pas trop comment faire...

Pour la 2)b) Exactement pareil.

Pour n=5 ( initialisation ) , tu calcules $U_5$ et tu trouves $U_5$ ≥2

Pour la démonstration de l'hérédité , tu utiliseras le fait que pour tout n $U_n$ ≥0 ( ce qui rendra la démonstration "presque" évidente )

D'accord je vais essayer! Merci

Alors si je fais :

Initialisation :
U5=(553/243)≈2,28 donc U5≥0 et U5≥2

Hérédité :
A un ordre n avec n≥5, on sait que Un≥0 et on suppose que Un≥n-3

Démonstration :
On veut montrer que Un+1≥n-3
Un+1= (1/3)Un+n-2
On sait que Un≥n-3
Donc (1/3)Un≥n-3
Or n≥5 donc n-3≥2
Donc (1/3)Un+n-2≥n-3
Donc comme n-3≥2, Un+1≥2

Donc la propriété Un≥n-3 est vraie pour n=5 et elle est héréditaire donc cette propriété Un≥n-3 est vraie pour tout n≥5.

Est-ce bon ?

Pour l'initialisation , il est inutile d'écrire $U_5$ ≥0

Pour l'hérédité , fais attention

Il faut démontrer que $un+1≤(n+1)−3u_{n+1} \le (n+1)-3$ c'est à dire $un+1≤n−2u_{n+1} \le n-2$

( et revois le raisonnement....)

Je ne comprend pas pourquoi vous avez marqué qu'il faut démontrer que Un+1≤(n+1)-3 et donc Un+1≤n-2
Je croyais que c'était Un+1≥n-2

J'ai corrigé quelques trucs qui me semblent beaucoup plus logiques :

Initialisation :
U5=(553/243)≈2,28 donc U5≥2

Hérédité :
A un ordre n avec n≥5, on sait que Un≥0 et on suppose que Un≥n-3

Démonstration :
On veut montrer que Un+1≥(n+1)-3 donc que Un+1≥n-2
Un+1= (1/3)Un+n-2
On sait que Un≥0 donc (1/3)Un≥0
Donc (1/3)Un+n-2≥n-2
Donc Un+1≥n-2

(J'avais marqué (n+1)-3 c'est à dire (n-2) pour être sûre que tu avais bien compris...)

Pour ta démonstration : c'est bon ! bravo !

Merci! Je suis contente d'avoir trouvé!

Et donc pour la limite c'est :
Lim (Un) = 3 ?
n→+∞

Non ; en plus , je me demande comment tu as pu trouver 3 ....

J'ai mis 3 car on dit que Un≥n-3...

Réfléchis...

Lorsque n tend vers + ∞ , n-3 tend vers .... , donc , vu que $U_n$ ≥n-3 , $U_n$ tend vers ......

Lorsque n tend vers +∞ , n-3 tend vers -3, donc, vu que Un≥n-3, Un tend vers n-3 ?

Non...

Losque n tend vers +∞ , pense que n prend les valeurs 100, 1000, 10000, ...
donc , n-3 tend vers ..........

Lorsque n tend vers +∞ , n-3 tend vers +∞
Donc vu que Un≥n-3, Un tend vers +∞ ?

OUI !

Je suis vraiment nulle en limite, c'était pas très compliqué ^^ Merci!

J'ai fait ma question 3a) et 3b) sans problème, mais je bloque à la question 3c). Je ne comprend pas tout à fait la question : comment calculer la somme sans avoir le nombre de termes et sans que Un soit une suite géométrique ni arithmétique...

Une remarque pour les limites :
Pour comprendre , donne toi ( sans l'écrire ) , des exemples simples et fais les calculs.
Par exemples,
si n tend vers +∞ , pense que n vaut 100 , ou 1000, ...
si n tend vers -∞ , pense que n vaut -100 , ou -1000 ,...
si n tend vers $0^+$ , pense que n vaut 0.1 , ou 0.01, ...
si n tend vers $0^-$ , pense que n vaut -0.1 , ou -0.01, ...

Pour la 3c) , utilise l'expression de Un du 3)b) et décompose en 3 parties.

Somme S1 des $254(13)k\frac{25}{4}(\frac{1}{3})^k$ ( somme des termes d'une suite géométrique )
Somme S2 des $32k\frac{3}{2}k$
Somme S3 des $−214-\frac{21}{4}$

Sn=S1+S2+S3

Ah d'accord, merci je comprend mieux les limites de suite maintenant.. Merci beaucoup !!!

Ah pour la question 3c) il suffit juste que je décompose l'expression de Un et que je fasse Sn=S1+S2+S3 ?

Oui , c'est l'idée.

Calcule S1 , S2 , S3 et ajoute

Ah il faut que je les calcule ?
Mais comment je fais si je n'ai pas le nombre de termes ?

Tu les calcules en fonction de n ( utilise ton cours sur la somme des termes d'une suite géométrique )

Dans mon cours j'ai S=(1er terme*(1-q^nb de termes))/(1-q)

Et dans cet exercice ils ne nous donnent pas le nombre de termes..

(3/2)×n c'est la somme des termes d'une suite géométrique ? Comme c'est un × ce n'est pas d'une suite arithmétique ?

k varie de 0 à n : cela fait combien de termes ? réfléchis...

Pour comprendre , prends un exemple ( et compte sur tes doigts éventuellement ) ; si k varie de 0 à 4 :cela fait combien de termes ? ...

Ah d'accord! Donc le nombre de termes c'est n+1....
Et (3/2)×k c'est la somme des termes d'une suite arithmétique et non géométrique ?

Merci beaucoup!

Oui

Pour (3/2)*k , tu peux dire qu'il s'agit de la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 3/2

(* Dans un précédent message , j'avais (3/2)^k par erreur* )

Oui je me suis doutée! Merci! Je vais calculer ça!

Alors j'ai calculé :
Pour S1 j'ai trouvé S1=(75/8)-(75/8)*(1/3)^(n+1)
Pour S2 j'ai trouvé S2=(n²+n)/2
Pour S3, S3=-(21/4)

Et donc pour Sn j'ai fait
Sn=S1+S2+S3=(1/2)[(33/4)-(75/4)(1/3)^(n+1) +n²+n]

Est ce que j'ai bon ? :s

Pour S1 , c'est bon

Pour S2 , il y a le facteur (3/2) qui manque

Pour S3 : ce n'est pas bon

Tu dois ajouer (n+1) termes qui valent chacun -(21/4) , donc S3=...............

Mais la formule pour les suites arithmétiques ce n'est pas S=[Nbtermes*(1er+Dernier)]/2 ? C'est pour ça que je n'ai pas mis mon facteur (3/2) et je ne sais pas où le mettre :s

Pour S3=(n+1)*(-21/4)=(-21/4)*n-(21/4) ?

Développer ne srt guère mais S3 est maintenant exact

Pour S2 , le premier terme est 0 , le dernier terme est (3/2)n et le nombre de termes est (n+1)

$s2=(n+1)0+32n2s_2=(n+1)\frac{0+\frac{3}{2}n}{2}$

Arrange un peu.