suites et convergence

Bonjour, pouvez-vous m'aider à faire cet exercice s'il vous plaît ? Je suis bloquée dès la première question... Voici l'énoncé :
Soit f la fonction définie sur l'intervalle ] 1; +∞[ par : f(x)=x/Ln x
1.a. Déterminer les limites de la fonction f en 1 et en +∞
b. etudier les variations de la fonction f
2. Soit $U_n$ ) la suite définie par $U_0$ =5 et $U$ _{n+1} $f(U_n$ ) pour tout entier naturel n
a. On a tracé la courbe représentative C de la fonction f.
Construire la droite d'équation y=x et les points M1 et M2 de la courbe C d'abscisses respectives $U_1$ et $U_2$ ; proposer une conjecture sur le comportement de la suite $U_n$ )
b. Démontrer que pour tout entier naturel n, on a $U_n$ ≥e (on pourra utiliser la question 1b)
c. démontrer que la suite $U_n$ ) converge vers un réel L de l'intervalle [e; +∞[

On rappelle que la fonction f est continue sur l'intervalle ]1;+∞[

En étudiant de 2 manières la limite de la suite $f(U_n$ )), démontrer que f(L)=L
en déduire la valeur de L

Merci

Bonsoir,

1)a) Revois un peu ton cours .

Lorsque x tend ver 1 ( par valeurs supérieures à 1) , lnx tend vers 0 ( par valeurs positives ) , donc f(x) tend vers ........

Lorsque x tend vers +∞ , tu dois savoir que lnx/x tend vers 0 ( par valeurs positives ) donc f(x) ( qui est l'inverse de lnx/x ) tend vers ...............

Propose nous des réponses.

Merci pour votre réponse.
Donc, lim f(x) quand x tend vers 1= +∞
Lim f(x) quand x tend vers +∞= +∞
C'est correct ?

Oui , c'est bon.

Pour la 1.b. j'ai trouvé f'(x)=(Lnx $1)/(Lnx)^2$
Donc le signe de f'(x) est négatif sur ]1;3[ et positif sur ]3;+∞[
Donc f(x) est décroissante sur ]1;3[ et croissante sur ]3;+∞[

Ta dérivée est bonne

3 ??? ce n'est pas bon . Tu as peut-être regardé sur ta calculette...

Trouves mathématiquement le signe de lnx-1

Lnx-1 s'annule entre 2,7 et 2,8. Je ne parviens pas à trouver LA valeur exacte ...

Fais le calcul ! ( c'est du cours )

lnx-1=0 <=> lnx=1 <=> x=.............
lnx-1<0 <=> lnx<1 <=> x<.............
lnx-1>0 <=> lnx>1 <=> x>.............

x=exp(1)

oui .

Puis simplement , tu peux écrire x=e

Pour la 2.a. je trouve que U1=f(U0)=f(5)≈ 3.10
et U2=f(U1)=f(3.10)≈2.73 et on peut conjecturer que la suite est décroissante ?

Oui mais je pense qu'il faut que tu fasses une construction graphique utilisant la courbe et la droite d'équation y=x ( en repère orthonormé )
Tu as dû voir la méthode en cours.

Si besoin , voici un exemple ( avec une autre fonction

http://serge.mehl.free.fr/anx/conv_esc.html

Merci. Pour la 2.b j'ai fais :
initialisation : pour n=0, U0=5 donc U0≥e
Hérédité : on suppose que Up≥e, on démontre que Up+1≥e, la suite U semble tendre vers e donc Up+1≥e

Non... ton raisonnement n'est pas bon

Pense que $u_{p+1}=f(u_p)$

f est croissante sur [e,+∞[ donc :

$up≥eu_p\ge e$ => $f(up)≥f(e)f(u_p)\ge f(e)$

Donc ..............................

Donc f(Up+1)≥ f(Up)≥ f(e)

Tu ne sais pas que $f(u_{p+1}$ ≥f(Up)

Tu utilises tout simplement la dernière inégalité que je t'ai donné.
Tu remplaces $f(U_p$ ) par $U_{p+1}$ et f(e) par sa valeur qui est ....

F(e)=e

Oui .

Ainsi tu obtiens $un+1≥eu_{n+1}\ge e$ et tu as démontré la propriété d'hérédité de la récurrence.

Pouvez-vous me donner une suite pour la 2.c s'il vous plait ? Je pense à démontrer que la suite est monotone, puis minorée. C'est correct ?

Monotone oui , mais il faut préciserdécroissante et minoréepar e donc convergente vers un réel L ( L≥e)

D'accord, est-ce que je dois définir la valeur exacte de L ?

Ceci est demandé en fin d'exercice : regarde les dernières questions.
Le but des dernières questions est de trouver la valeur exacte de L( qui est e)

Pour la question 1 de la partie B, je ne vois pas quelles sont les deux manières... Pour la première j'ai pensé à calculer la différence Un+1 -Un et déduire la limite en fonction du signe.

Vu que f est continue et que (Un) converge vers L , tu peux déduire de f(Un) converge vers f(L) .
Vu que Un+1=f(Un) :
$strong>(U_{n+1}$ ) converge vers f(L)

Lorsque n tend vers +∞ , $U_n$ et $U_{n+1}$ ont la même limite
Vu que $U_n$ ) converge vers L , $U_{n+1}$ ) converge vers L

La limite étant unique , tu tires la conclusion.

D'accord, je vous remercie