dérivabilité d'une fonction.

soit a et b deux nombres réels. soit f la fonction definie sur ℜ par
f(x)= x²+2ax+3b si x ≤ 0
f(x)= (a+1)x+b/x+1 si x > 0
déterminer a et b pour que f soit dérivable sur ℜ.

BONJOUR ( un petit bonjour fait plaisir...)

f est continue et dérivable pour x<0 et pour x>0

Le problème est pour x=0

f doit être dérivable ( et continue ) en 0

désolé mais t'es hors sujet! on ne cherche pas si f est dérivable ou non, bien sur quel est dérivable. c'est même dit dans l'exercice. on cherche un moyen pour déterminer a et b
et pour la politesse, je te promis d’être plis si tu me trouve cet exercice. mais tu vas pas y arriver

Relis bien l' Enoncé :
Citation
déterminer a et b pour que f soit dérivable sur ℜ

Tout d'abord , si tu n'utilises pas le Latex , mets suffisamment de parenthèses.
Pour x>0 , je pense qu'il s'agit de :

$f(x)=(a+1)x+bx+1f(x)=(a+1)x+\frac{b}{x+1}$

Je te donne quelques pistes complémentaires ( mais bien sûr , c'est à toi de faire l'exercice ! )

Grace à ton cours , tu peux justifier facilement que pour tout a et pour tout b , f est dérivable ( donc continue ) sur ]-∞,0[ et sur ]0,+∞[

C'est l'étude pour x =0 qui te permettra de trouver a et b pour que f soit dérivable ( et continue ) en 0 donc sur R

Continuité :

f(0)= 3b ( première formule de l'énoncé )

Avec la seconde formule , tu cherches la limite lorsque x tend vers 0 par valeurs positives :

$lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+(a+1)x+bx+1=f(0)=3b\lim_{x\to 0^+}f(x)=\lim_{x\to 0^+}(a+1)x+\frac{b}{x+1}=f(0)=3b$

Donc : b=3b donc 2b=0 donc b=0

Il te reste à utiliserla dérivabilité en 0 qui te permettra d'avoir la valeur de a .

(après calculs , tu dois trouver a=1 )

non! c'est f(x)=((a+x)x+b)/(x+1)

Donc , dans ton énoncé de départ , il n'y avait pas suffisamment de parenthèses

Maintenant tu écris :

Citation
f(x)=((a+x)x+b)/(x+1)

Tu es vraiment sûr ?
précédemment , il y avait (a+1) entre parenthèses et maintenant , c'est (a+x) ? ?

La démarche que je t'ai indiquée ne change pas .
Si tu l'a comprise , il suffit de l'appliquer avec la nouvelle expression .

Bons calculs.

a=1 et b=0